黎曼函数平凡零点

liangbch

Wikipedia上说，当s=-2，-4，-6等负偶整数数，黎曼函数$\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\prop}1/(n^s))=(1/(1^s))+(1/(2^s))+(1/(3^s))+(1/(4^s))+...$ 的值为0.但我的计算结果却不是0，我哪儿错了吗？ 如，当s=-2时,我的计算过程和结果如下，请指出我哪儿错了。 zeta(s)=1/1^-2 + 1/2^-2 +1/3^-2+1/4^-2 +... =1/(1/1) + 1/(1/2^2) + 1/(1/3^2) +1/(1/4^2) + ... =1 + 1/(1/4) + 1/(1/9) + 1/(1/16) + ... =1 + 4 + 9 + 16 + ...

gxqcn

刚Google了下，发现你的黎曼函数公式搞错了，分母上的指数是不需取相反数的。 但“ζ函数在负偶整数点的值为零”这个结论是否为真我不清楚。

liangbch

错误已更正。维基百科黎曼猜想 中提到。“黎曼猜想（RH）是关于黎曼ζ函数ζ(s)的零点分布的猜想。黎曼ζ函数在任何复数s ≠ 1上有定义。它在负偶数上也有零点（例如，当s = -2, s = -4, s = -6, ...）。这些零点是“平凡零点”。”

zgg___

呵呵，这个我恰好知道一点点。 就是1+4+9+16+...为什么等于0呢？这不是胡说么？呵呵。 先说说为什么1+2+4+8+16+…=-1。 根据等比数列的公式，1+x+x^2+x^3+…=1/(1-x)，把x=2代入，就可以得到上面“荒谬”的结果了。 这种方法叫做“解析延拓”，可以看到1/(1-x)在除了1以外的点都有定义，而1+x+x^2+x^3+…只有在x的绝对值小于1时有定义，而且重要的是：这两个东东在有定义时的无穷多个点（就是半径1的圆盘内）上都相等。既然1+x+x^2+x^3+…的定义域没有1/(1-x)广阔，我们就把定义域外面的地方“强制”规定好了，这样就把1+x+x^2+x^3+…“延拓”了，呵呵。 可以类比，1+4+9+16+...也可以这样“延拓”，但是可惜是1+4+9+16+...没有1/(1-x)这样的“显式”来对应，所以就难了，呵呵。

liangbch

中学就学过，1^2+2^2+3^2+...+ n^2 = n(n+1)(2n+1)/6 ，这里竟然变成0了，以精确严密著称的数学居然有这样自相矛盾，难以理解的东西。

liangbch

我想起另一个外延的例子，在Toom-Cook乘法中，见Cook_multiplication ,取的几个插值点是0，1，-1，-2，$\prop$，文中说p($\prop$)=m2,正无穷参与运算是个诡异的做法，其文中给出的计算结果，是忽略低阶项，仅保留最高阶项，用初等数学知识，是无法准确理解这个结论的，我的数学不好，只能意会了。

mathe

这是因为顶楼的公式只适用于Re(s)>1的情况 而对于其他情况，需要用复变函数里面的方法通过解析延拓来定义。 其依据就是对于任意解析函数，只要确定了复平面中任意一个小区域里面的值，整个解析函数就唯一确定了。 就相当于定义函数 1+x+x^2+...+x^n+... 这个级数只有|x|<1时有定义，但是它可以唯一确定整个解析函数1/(1-x)

zeroieme

可以参考https://zh.wikipedia.org/zh-hans/发散级数

云梦

最近在研究黎曼函数，计算真的不太容易。尤其是Zeta[n]当n比较小时,收敛太慢了，可始终没找到快速计算的公式。
黎曼函数在负数域的定义是：Zeta[-n]=- Bernoulli[n+1]/(n+1),   因为除了1以外的所有奇数的伯努利数均为零，所以当n为偶数时，n+1的伯努利数自然是零。

荒谬的结果是因为黎曼函数在正负域的定义是不同的，当负数时自然不能延用正数域的定义。

mathematica

http://zh.wikipedia.org/wiki/%E9 ... 6%E5%87%BD%E6%95%B8
ζ函数满足如下函数方程：

对于所有C\{0,1}中的s成立。这里，Γ表示Γ函数。这个公式原来用来构造解析连续性。在s = 1，ζ函数有一个简单极点其留数为1。上述方程中有sin函数，的零点为偶数s = 2n，这些位置是可能的零点，但s为正偶数时，sin(πs/2)Γ(1&#8722;s)为不为零的规则函数，只有s为负偶数时，ζ函数才有零点，称为平凡零点。