周长为整数的三角形计数问题

kastin

验算

1. f[n_] := ((n - 6)^3 + 3 (n - 6)^2)/144 - (n - 6)/32 -
   
2.   13/288 + (-1)^n/32 (n - 5) - Cos[n Pi/2]/8 +
   
3.   2/9/Sqrt[3] Sin[(2 n - 1)/3 Pi]
   
4. f[25]
   
5. % == (Select[IntegerPartitions[25, {4}],
   
6.     Max[Length /@Split@ #] == 1 &] // Length)

复制代码

54
True

王守恩

kastin 发表于 2018-2-6 20:34
由2#母函数可得通项公式\[t_n=\frac{1}{288}\left(6n(n+3)-(-1)^n(18n+27)-36\sqrt{2}\sin\frac{(2n+1)\pi} ...

还是添点火，说得不对，欢迎大家批评！

1，简化解\(\D=\left[\frac{n^2+3n(1−(−1)^n)}{48}\right]=\left[\frac{n^2+3n−(−1)^n×3n}{48}\right]=\left[\frac{6n(n+3)−(−1)^n×18n}{288}\right]\)

2，基本解\(\D=\frac{1}{288}\left(6n(n+3)-(-1)^n(18n+27)-36\sqrt{2}\sin\frac{(2n+1)\pi}{4}+64\cos\frac{2n\pi}{3}−1\right)\)

\(\D=\frac{6n(n+3)}{288}-\frac{(-1)^n×18n}{288}-\frac{(-1)^n×27}{288}-\frac{36\sqrt{2}}{288}\sin\frac{(2n+1)\pi}{4}+\frac{64}{288}\cos\frac{2n\pi}{3}-\frac{1}{288}\)

\(\D=\frac{6n(n+3)-(-1)^n×18n}{288}+\frac{64}{288}\cos\frac{2n\pi}{3}-\frac{36\sqrt{2}}{288}\sin\frac{(2n+1)\pi}{4}-\frac{(-1)^n×27}{288}-\frac{1}{288}\)

=简化解+常数

3，常数\(\D=\frac{64}{288}\cos\frac{2n\pi}{3}-\frac{36\sqrt{2}}{288}\sin\frac{(2n+1)\pi}{4}-\frac{(-1)^n×27}{288}-\frac{1}{288}\)

当\(n\)= \(0\) 时，常数=\(+0/288\)
当\(n\)= \(1\) 时，常数=\(-42/288\)
当\(n\)= \(2\) 时，常数=\(-24/288\)
当\(n\)= \(3\) 时，常数=\(126/288\)
当\(n\)= \(4\) 时，常数=\(-96/288\)
当\(n\)= \(5\) 时，常数=\(-42/288\)
当\(n\)= \(6\) 时，常数=\(+72/288\)
当\(n\)= \(7\) 时，常数=\(+30/288\)
当\(n\)= \(8\) 时，常数=\(-96/288\)
当\(n\)= \(9\) 时，常数=\(+54/288\)
当\(n\)=\(10\)时，常数=\(-24/288\)
当\(n\)=\(11\)时，常数=\(+30/288\)
当\(n\)=\(12\)时，常数=\(+0/288\)
当\(n\)=\(13\)时，常数=\(-42/288\)
当\(n\)=\(14\)时，常数=\(-24/288\)
当\(n\)=\(15\)时，常数=\(126/288\)
.........
4，常数的值出现循环，且绝对值均小于\(0.5\)。
5，简化解得证，可以有多种表达方式。

王守恩

kastin 发表于 2018-2-8 14:33
这个问题本质上是 `n` 拆分为4个互不相同的数的方法数，等价为不定方程 `x_1+2x_2+3x_3+4x_4=n` 的正整数 ...

谢谢kastin！

题目：\(4\)个不同正整数之和是\(n\)，求\(n\)不同取法的种数\(S(n)\)。

\(S(n)=\D\frac{n^3−15n^2}{144}+\frac{15n}{32}−\frac{175}{288}+\frac{(−1)^n(n−5)}{32}+\frac{2}{9\sqrt 3}\sin\frac{(2n−1)\pi}{3}−\frac 1 8\cos\frac{n\pi}{2}\)

化简可得以下解。

1，当\(n\)=奇数时，\(S(n)=\D\left[\frac{(n-3)^2(n-9)}{144}\right]\)

2，当\(n\)=偶数时，\(S(n)=\D\left[\frac{(n-3)(n-6)^2}{144}\right]\)

王守恩

王守恩 发表于 2018-2-9 17:41
谢谢kastin！

题目：\(4\)个不同正整数之和是\(n\)，求\(n\)不同取法的种数\(S(n)\)。

1，当\(\D n=2k+7\)时，\(S(n)=\D\left[\frac{(k+2)(k+2)(2k-2)}{36}\right]\)

2，当\(\D n=2k+2\)时，\(S(n)=\D\left[\frac{(k-2)(k-2)(2k-1)}{36}\right]\)

王守恩

王守恩 发表于 2018-2-12 15:50
定义周长为n的三角形，三边长均为正整数，假设用
\(t(n)\)表示这种三角形中相互不全等的三角形的个数，求\ ...

定义周长为n的三角形，三边长均为正整数，假设用
\(t(n)\)表示这种三角形中相互不全等的三角形的个数，求\(t(n)\)的递推公式

当\(n\)=\(2k\)时，\(\D t(n)=\left[\frac{6n^2+a}{288}\right]\ \ \ \ -72\leq a＜48\)

当\(n\)=\(2k+1\)时，\(\D t(n)=\left[\frac{6n^2+36n+b}{288}\right]\ \ \ \ -18\leq b＜ 102\)

也可以这样写。

当\(n\)=\(2k\)时，\(\D t(n)=\left[\frac{(k+0)(k-0)}{12}\right]=\left[\frac{(k+1)(k-1)}{12}\right]=......\)

当\(n\)=\(2k+1\)时，  \(\D t(n)=\left[\frac{(k+2)(k-2)}{12}\right]=\left[\frac{(k+3)(k-1)}{12}\right]=......\)

中括号\([a]\)是\(a\)取圆整，即四舍五入。如果不用\([a]\)也可以。

\(\D t(12k+0)=\frac{n^2+0n+0}{48}\)

\(\D t(12k+3)=\frac{n^2+6n+21}{48}\)

\(\D t(12k+6)=\frac{n^2+0n+12}{48}\)

\(\D t(12k+9)=\frac{n^2+6n+9}{48}\)

\(\D t(12k+1,12k+5)=\frac{n^2+6n-7}{48}\)

\(\D t(12k+2,12k+10)=\frac{n^2+0n-4}{48}\)

\(\D t(12k+4,12k+8)=\frac{n^2+0n-16}{48}\)

\(\D t(12k+7,12k+11)=\frac{n^2+6n+5}{48}\)

谢谢kastin的基本解。
有了基本解，简化解可以有多种表达方式。

陈九章

台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

用 n 根相同的火柴棒圍成一個三角形，求共可圍出幾種不全等地?

當 n 是偶數 答案為與 (n^2)/48 最接近的整數

當 n 是奇數 答案為與 [(n+3)^2]/48 最接近的整數

為什麼?

王守恩

陈九章 发表于 2018-2-26 14:34
台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

       还是答复一下。

\(\D S(n)=\bigg[\frac{3n(1-\cos(n\pi))+n^2}{48}\bigg]\) 中括号 \([a]\) 是 \(a\) 取圆整，即四舍五入。

葡萄糖

kastin 发表于 2018-2-6 20:34
由2#母函数可得通项公式\[t_n=\frac{1}{288}\left(6n(n+3)-(-1)^n(18n+27)-36\sqrt{2}\sin\frac{(2n+1)\pi}{4}+64\cos\frac{2n\pi}{3}-1\right)\] ...

\begin{align*}  
N\left(2,3,4\,;b\right)&=\frac{1}{48}b^2+\frac{3}{16}b+\frac{107}{288}+\frac{1}{16}(b+1)\cos(\pi b)+\frac{7}{32}\cos(\pi b)+\frac{2}{9}\cos\left(\frac{2\pi}{3}b\right)+\frac{1}{8}\cos\left(\frac{\pi}{2}b\right)+\frac{1}{8}\cos\left[\frac{\pi}{2}(b+1)\right]\\
\end{align*}
emmmm，我推出来的是这样的形式...这是...
同时，它\(N\left(2,3,4\,;b\right)\)还是不定方程\(\,2x_1+3x_2+4x_3=b\,\)非负整数解的计数公式。