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楼主: 无心人

[讨论] 周长为整数的三角形计数问题

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发表于 2018-2-8 14:43:20 | 显示全部楼层
验算
  1. f[n_] := ((n - 6)^3 + 3 (n - 6)^2)/144 - (n - 6)/32 -
  2.   13/288 + (-1)^n/32 (n - 5) - Cos[n Pi/2]/8 +
  3.   2/9/Sqrt[3] Sin[(2 n - 1)/3 Pi]
  4. f[25]
  5. % == (Select[IntegerPartitions[25, {4}],
  6.     Max[Length /@Split@ #] == 1 &] // Length)
复制代码
54
True

点评

kastin!先谢谢了!让我来慢慢琢磨。  发表于 2018-2-8 18:34
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发表于 2018-2-9 10:49:13 | 显示全部楼层
kastin 发表于 2018-2-6 20:34
由2#母函数可得通项公式\[t_n=\frac{1}{288}\left(6n(n+3)-(-1)^n(18n+27)-36\sqrt{2}\sin\frac{(2n+1)\pi} ...

还是添点火,说得不对,欢迎大家批评!

1,简化解\(\D=\left[\frac{n^2+3n(1−(−1)^n)}{48}\right]=\left[\frac{n^2+3n−(−1)^n×3n}{48}\right]=\left[\frac{6n(n+3)−(−1)^n×18n}{288}\right]\)

2,基本解\(\D=\frac{1}{288}\left(6n(n+3)-(-1)^n(18n+27)-36\sqrt{2}\sin\frac{(2n+1)\pi}{4}+64\cos\frac{2n\pi}{3}−1\right)\)

\(\D=\frac{6n(n+3)}{288}-\frac{(-1)^n×18n}{288}-\frac{(-1)^n×27}{288}-\frac{36\sqrt{2}}{288}\sin\frac{(2n+1)\pi}{4}+\frac{64}{288}\cos\frac{2n\pi}{3}-\frac{1}{288}\)

\(\D=\frac{6n(n+3)-(-1)^n×18n}{288}+\frac{64}{288}\cos\frac{2n\pi}{3}-\frac{36\sqrt{2}}{288}\sin\frac{(2n+1)\pi}{4}-\frac{(-1)^n×27}{288}-\frac{1}{288}\)

=简化解+常数

3,常数\(\D=\frac{64}{288}\cos\frac{2n\pi}{3}-\frac{36\sqrt{2}}{288}\sin\frac{(2n+1)\pi}{4}-\frac{(-1)^n×27}{288}-\frac{1}{288}\)

当\(n\)= \(0\) 时,常数=\(+0/288\)
当\(n\)= \(1\) 时,常数=\(-42/288\)
当\(n\)= \(2\) 时,常数=\(-24/288\)
当\(n\)= \(3\) 时,常数=\(126/288\)
当\(n\)= \(4\) 时,常数=\(-96/288\)
当\(n\)= \(5\) 时,常数=\(-42/288\)
当\(n\)= \(6\) 时,常数=\(+72/288\)
当\(n\)= \(7\) 时,常数=\(+30/288\)
当\(n\)= \(8\) 时,常数=\(-96/288\)
当\(n\)= \(9\) 时,常数=\(+54/288\)
当\(n\)=\(10\)时,常数=\(-24/288\)
当\(n\)=\(11\)时,常数=\(+30/288\)
当\(n\)=\(12\)时,常数=\(+0/288\)
当\(n\)=\(13\)时,常数=\(-42/288\)
当\(n\)=\(14\)时,常数=\(-24/288\)
当\(n\)=\(15\)时,常数=\(126/288\)
.........
4,常数的值出现循环,且绝对值均小于\(0.5\)。
5,简化解得证,可以有多种表达方式。
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发表于 2018-2-9 17:41:37 | 显示全部楼层
kastin 发表于 2018-2-8 14:33
这个问题本质上是 `n` 拆分为4个互不相同的数的方法数,等价为不定方程 `x_1+2x_2+3x_3+4x_4=n` 的正整数 ...

谢谢kastin!

题目:\(4\)个不同正整数之和是\(n\),求\(n\)不同取法的种数\(S(n)\)。

\(S(n)=\D\frac{n^3−15n^2}{144}+\frac{15n}{32}−\frac{175}{288}+\frac{(−1)^n(n−5)}{32}+\frac{2}{9\sqrt 3}\sin\frac{(2n−1)\pi}{3}−\frac 1 8\cos\frac{n\pi}{2}\)

化简可得以下解。

1,当\(n\)=奇数时,\(S(n)=\D\left[\frac{(n-3)^2(n-9)}{144}\right]\)

2,当\(n\)=偶数时,\(S(n)=\D\left[\frac{(n-3)(n-6)^2}{144}\right]\)

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参考11楼那样得出一个简单的式子最好  发表于 2018-2-9 18:35
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发表于 2018-2-9 21:22:04 | 显示全部楼层
王守恩 发表于 2018-2-9 17:41
谢谢kastin!

题目:\(4\)个不同正整数之和是\(n\),求\(n\)不同取法的种数\(S(n)\)。

1,当\(\D n=2k+7\)时,\(S(n)=\D\left[\frac{(k+2)(k+2)(2k-2)}{36}\right]\)

2,当\(\D n=2k+2\)时,\(S(n)=\D\left[\frac{(k-2)(k-2)(2k-1)}{36}\right]\)

点评

可爱的“常数”,我爱你!你让我们可以有无限遐想。 尊敬的kastin!能再来几个通项公式吗?看我能不能揪出点什么!  发表于 2018-2-10 12:03
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发表于 2018-2-12 19:52:51 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2018-2-12 20:11 编辑
王守恩 发表于 2018-2-12 15:50
定义周长为n的三角形,三边长均为正整数,假设用
\(t(n)\)表示这种三角形中相互不全等的三角形的个数,求\ ...


定义周长为n的三角形,三边长均为正整数,假设用
\(t(n)\)表示这种三角形中相互不全等的三角形的个数,求\(t(n)\)的递推公式

当\(n\)=\(2k\)时,\(\D t(n)=\left[\frac{6n^2+a}{288}\right]\ \ \ \ -72\leq a<48\)

当\(n\)=\(2k+1\)时,\(\D t(n)=\left[\frac{6n^2+36n+b}{288}\right]\ \ \ \ -18\leq b< 102\)

也可以这样写。

当\(n\)=\(2k\)时,\(\D t(n)=\left[\frac{(k+0)(k-0)}{12}\right]=\left[\frac{(k+1)(k-1)}{12}\right]=......\)

当\(n\)=\(2k+1\)时,  \(\D t(n)=\left[\frac{(k+2)(k-2)}{12}\right]=\left[\frac{(k+3)(k-1)}{12}\right]=......\)

中括号\([a]\)是\(a\)取圆整,即四舍五入。如果不用\([a]\)也可以。

\(\D t(12k+0)=\frac{n^2+0n+0}{48}\)

\(\D t(12k+3)=\frac{n^2+6n+21}{48}\)

\(\D t(12k+6)=\frac{n^2+0n+12}{48}\)

\(\D t(12k+9)=\frac{n^2+6n+9}{48}\)

\(\D t(12k+1,12k+5)=\frac{n^2+6n-7}{48}\)

\(\D t(12k+2,12k+10)=\frac{n^2+0n-4}{48}\)

\(\D t(12k+4,12k+8)=\frac{n^2+0n-16}{48}\)

\(\D t(12k+7,12k+11)=\frac{n^2+6n+5}{48}\)

谢谢kastin的基本解。
有了基本解,简化解可以有多种表达方式。
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发表于 2018-2-26 14:34:42 | 显示全部楼层
台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子,

欢迎大家一起来想想如何解答:

用 n 根相同的火柴棒圍成一個三角形,求共可圍出幾種不全等地?

當 n 是偶數 答案為與 (n^2)/48 最接近的整數

當 n 是奇數 答案為與 [(n+3)^2]/48 最接近的整數

為什麼?
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发表于 2019-4-27 16:59:30 | 显示全部楼层
陈九章 发表于 2018-2-26 14:34
台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子,

欢迎大家一起来想想如何解答:

       还是答复一下。

\(\D S(n)=\bigg[\frac{3n(1-\cos(n\pi))+n^2}{48}\bigg]\) 中括号 \([a]\) 是 \(a\) 取圆整,即四舍五入。
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发表于 2019-5-11 15:41:21 | 显示全部楼层
本帖最后由 葡萄糖 于 2019-5-11 15:47 编辑
kastin 发表于 2018-2-6 20:34
由2#母函数可得通项公式\[t_n=\frac{1}{288}\left(6n(n+3)-(-1)^n(18n+27)-36\sqrt{2}\sin\frac{(2n+1)\pi}{4}+64\cos\frac{2n\pi}{3}-1\right)\] ...


\begin{align*}  
N\left(2,3,4\,;b\right)&=\frac{1}{48}b^2+\frac{3}{16}b+\frac{107}{288}+\frac{1}{16}(b+1)\cos(\pi b)+\frac{7}{32}\cos(\pi b)+\frac{2}{9}\cos\left(\frac{2\pi}{3}b\right)+\frac{1}{8}\cos\left(\frac{\pi}{2}b\right)+\frac{1}{8}\cos\left[\frac{\pi}{2}(b+1)\right]\\
\end{align*}
emmmm,我推出来的是这样的形式...这是...
同时,它\(N\left(2,3,4\,;b\right)\)还是不定方程\(\,2x_1+3x_2+4x_3=b\,\)非负整数解的计数公式。

点评

见2楼评论以及3楼,带约束的整数拆分以及相对应的非负整数解是可以互换的,之前我也回复过类似的帖子。  发表于 2019-5-11 16:40
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