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楼主: 无心人

[讨论] 周长为整数的三角形计数问题

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发表于 2018-2-7 14:50:03 | 显示全部楼层
kastin 发表于 2018-2-6 22:12
考虑到 \[-\frac 19 \leqslant \frac{1}{288}\left(-36\sqrt{2}\sin\frac{(2n+1)\pi}{4}+64\cos\frac{2n\pi ...


照你这样分析,其实
$$\left[\frac{n^2+3n\big(1-(-1)^n\big)}{48}\right]$$
就好了,其中\([\cdot]\)是四舍五入。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2018-2-8 08:05:48 | 显示全部楼层
282842712474 发表于 2018-2-7 14:50
照你这样分析,其实
$$\left[\frac{n^2+3n\big(1-(-1)^n\big)}{48}\right]$$
就好了,其中\([\cdot]\ ...

       谢谢kastin!谢谢wayne!谢谢mathe!给出基本解!
       有了基本解,结果可以有无穷多种表达方式。

        \(当n=2k时,\ \ \ \ t(n)=\left[\frac{k^2}{12}\right]\)

        \(当n=2k-3时,t(n)=\left[\frac{k^2}{12}\right]\)

       中括号\([a]\)是\(a\)取圆整,即四舍五入。
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发表于 2018-2-8 10:36:33 | 显示全部楼层
282842712474 发表于 2018-2-7 14:50
照你这样分析,其实
$$\left[\frac{n^2+3n\big(1-(-1)^n\big)}{48}\right]$$
就好了,其中\([\cdot]\ ...


一个极致的表达式应该是怎样的呢?不知道是否存在?

要求:
1、单一表达式,表达式尽可能短;2、只用一种取整符号,取整符号不能内嵌(允许$[a]\times [b+1]$,不允许$[[a]+b]$);3、最好也不要出现$(-1)^n$这样的项,这样的项其实违反了第一点。

大家来挑战下?
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发表于 2018-2-8 11:18:40 | 显示全部楼层
赞同~!,我前天还想这么问来着的,想看看能不能得到一个稍微系统一点的方法.后来时间打散了,就忘了.
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发表于 2018-2-8 11:27:04 | 显示全部楼层
先看本题,假设存在这样的式子,\[f(n) = [\frac{an^2+bn+c}{12}]\],于是求$a,b,c$
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发表于 2018-2-8 11:30:02 | 显示全部楼层
kastin 发表于 2018-2-6 22:12
考虑到 \[-\frac 19 \leqslant \frac{1}{288}\left(-36\sqrt{2}\sin\frac{(2n+1)\pi}{4}+64\cos\frac{2n\pi ...


求助:各位大师!能否给下面的题目找一个基本解。谢谢!
题目:\(4\)个不同正整数之和是\(n\),求\(n\)不同取法的种数\(S(n)\)。
思路:根据余数不同把\(n\)分成\(6\)类,分别计算,然后相加。

\(\ S(6k+10)=1+\ \ 8k+17C_{k}^2+9C_{k}^3-A或B\)

\(\ S(6k+11)=1+10k+18C_{k}^2+9C_{k}^3\)

\(\ S(6k+12)=2+13k+19C_{k}^2+9C_{k}^3+A或B\)

\(\ S(6k+13)=3+15k+21C_{k}^2+9C_{k}^3\)

\(\ S(6k+14)=5+18k+23C_{k}^2+9C_{k}^3-A或B\)

\(\ S(6k+15)=6+21k+24C_{k}^2+9C_{k}^3\)

说明:
1,当\(k\)是奇数时,\(A=\frac{k-1}{2}×\frac{k-1}{2}\)

2,当\(k\)是偶数时,\(B=\frac{k-2}{2}×\frac{k-0}{2}\)
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发表于 2018-2-8 11:49:45 | 显示全部楼层
282842712474 发表于 2018-2-8 10:36
一个极致的表达式应该是怎样的呢?不知道是否存在?

要求:

存在(-1)^n这样的项,说明其特征方程有-1为根。-1之为根,与其它根为什么不能有相同的地位?
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发表于 2018-2-8 14:06:07 | 显示全部楼层
282842712474 发表于 2018-2-8 10:36
一个极致的表达式应该是怎样的呢?不知道是否存在?

要求:

\(\D t(n)=\left[\frac{n\left(n+3\left(1-i^{2n}\right)\right)}{48}\right]\)
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发表于 2018-2-8 14:33:36 | 显示全部楼层
wayne 发表于 2018-2-8 11:27
先看本题,假设存在这样的式子,\[f(n) = [\frac{an^2+bn+c}{12}]\],于是求$a,b,c$


这种表达式估计不大可能。但应该可能存在$[an+b][cn+d] + [en+f]$的形式。
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发表于 2018-2-8 14:33:38 | 显示全部楼层
王守恩 发表于 2018-2-8 11:30
求助:各位大师!能否给下面的题目找一个基本解。谢谢!
题目:\(4\)个不同正整数之和是\(n\),求\(n\ ...

这个问题本质上是 `n` 拆分为4个互不相同的数的方法数,等价为不定方程 `x_1+2x_2+3x_3+4x_4=n` 的正整数解的个数。其母函数为\[G(x)=\prod_{h=1}^4\sum_{k=1}^{\infty}x^{hk}=\frac{x^{10}}{(1-x)(1-x^2)(1-x^3)(1-x^4)}\]对比帖子"小球装盒问题"的母函数可知,本问题的母函数多乘以了 `x^6`,于是通项公式应该是该帖子10# `n=4` 的结果 `p(n-6)` 的结果,即\[S(n)=p(n-6)=\frac{n^3-15n^2}{144}+\frac{15n}{32}-\frac{175}{288}+\frac{(-1)^n}{32}(n-5)+\frac{2}{9\sqrt{3}}\sin\frac{(2n-1)\pi}{3}-\frac 18\cos\frac{n\pi}{2}\]

点评

太好了!谢谢kastin!  发表于 2018-2-9 10:52
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