周长为整数的三角形计数问题

282842712474

kastin 发表于 2018-2-6 22:12
考虑到 \[-\frac 19 \leqslant \frac{1}{288}\left(-36\sqrt{2}\sin\frac{(2n+1)\pi}{4}+64\cos\frac{2n\pi ...

照你这样分析，其实
$$\left[\frac{n^2+3n\big(1-(-1)^n\big)}{48}\right]$$
就好了，其中\([\cdot]\)是四舍五入。

王守恩

282842712474 发表于 2018-2-7 14:50
照你这样分析，其实
$$\left[\frac{n^2+3n\big(1-(-1)^n\big)}{48}\right]$$
就好了，其中\([\cdot]\ ...

       谢谢kastin！谢谢wayne！谢谢mathe！给出基本解！
       有了基本解，结果可以有无穷多种表达方式。

        \(当n=2k时，\ \ \ \ t(n)=\left[\frac{k^2}{12}\right]\)

        \(当n=2k-3时，t(n)=\left[\frac{k^2}{12}\right]\)

       中括号\([a]\)是\(a\)取圆整，即四舍五入。

282842712474

282842712474 发表于 2018-2-7 14:50
照你这样分析，其实
$$\left[\frac{n^2+3n\big(1-(-1)^n\big)}{48}\right]$$
就好了，其中\([\cdot]\ ...

一个极致的表达式应该是怎样的呢？不知道是否存在？

要求：
1、单一表达式，表达式尽可能短；2、只用一种取整符号，取整符号不能内嵌（允许$[a]\times [b+1]$，不允许$[[a]+b]$）；3、最好也不要出现$(-1)^n$这样的项，这样的项其实违反了第一点。

大家来挑战下？

wayne

赞同～！，我前天还想这么问来着的，想看看能不能得到一个稍微系统一点的方法．后来时间打散了，就忘了．

wayne

先看本题，假设存在这样的式子，\[f(n) = [\frac{an^2+bn+c}{12}]\]，于是求$a,b,c$

王守恩

kastin 发表于 2018-2-6 22:12
考虑到 \[-\frac 19 \leqslant \frac{1}{288}\left(-36\sqrt{2}\sin\frac{(2n+1)\pi}{4}+64\cos\frac{2n\pi ...

求助：各位大师！能否给下面的题目找一个基本解。谢谢！
题目：\(4\)个不同正整数之和是\(n\)，求\(n\)不同取法的种数\(S(n)\)。
思路：根据余数不同把\(n\)分成\(6\)类，分别计算，然后相加。

\(\ S(6k+10)=1+\ \ 8k+17C_{k}^2+9C_{k}^3-A或B\)

\(\ S(6k+11)=1+10k+18C_{k}^2+9C_{k}^3\)

\(\ S(6k+12)=2+13k+19C_{k}^2+9C_{k}^3+A或B\)

\(\ S(6k+13)=3+15k+21C_{k}^2+9C_{k}^3\)

\(\ S(6k+14)=5+18k+23C_{k}^2+9C_{k}^3-A或B\)

\(\ S(6k+15)=6+21k+24C_{k}^2+9C_{k}^3\)

说明：
1，当\(k\)是奇数时，\(A=\frac{k-1}{2}×\frac{k-1}{2}\)

2，当\(k\)是偶数时，\(B=\frac{k-2}{2}×\frac{k-0}{2}\)

hujunhua

282842712474 发表于 2018-2-8 10:36
一个极致的表达式应该是怎样的呢？不知道是否存在？

要求：

存在(-1)^n这样的项，说明其特征方程有-1为根。-1之为根，与其它根为什么不能有相同的地位？

王守恩

282842712474 发表于 2018-2-8 10:36
一个极致的表达式应该是怎样的呢？不知道是否存在？

要求：

\(\D t(n)=\left[\frac{n\left(n+3\left(1-i^{2n}\right)\right)}{48}\right]\)

282842712474

wayne 发表于 2018-2-8 11:27
先看本题，假设存在这样的式子，\[f(n) = [\frac{an^2+bn+c}{12}]\]，于是求$a,b,c$

这种表达式估计不大可能。但应该可能存在$[an+b][cn+d] + [en+f]$的形式。

kastin

王守恩 发表于 2018-2-8 11:30
求助：各位大师！能否给下面的题目找一个基本解。谢谢！
题目：\(4\)个不同正整数之和是\(n\)，求\(n\ ...

这个问题本质上是 `n` 拆分为4个互不相同的数的方法数，等价为不定方程 `x_1+2x_2+3x_3+4x_4=n` 的正整数解的个数。其母函数为\[G(x)=\prod_{h=1}^4\sum_{k=1}^{\infty}x^{hk}=\frac{x^{10}}{(1-x)(1-x^2)(1-x^3)(1-x^4)}\]对比帖子"小球装盒问题"的母函数可知，本问题的母函数多乘以了 `x^6`，于是通项公式应该是该帖子10# `n=4` 的结果 `p(n-6)` 的结果，即\[S(n)=p(n-6)=\frac{n^3-15n^2}{144}+\frac{15n}{32}-\frac{175}{288}+\frac{(-1)^n}{32}(n-5)+\frac{2}{9\sqrt{3}}\sin\frac{(2n-1)\pi}{3}-\frac 18\cos\frac{n\pi}{2}\]