证∫dx/√(x^3-11x^2+11x+121)=Γ(1/11)Γ(3/11)Γ(4/11)Γ(5/11)Γ(9/11)/(6√2π^2)

笨笨

kastin 发表于 2019-3-18 22:24
变换过程可能比较复杂，也许会用到Landen变换以及椭圆积分的Carlson对称形式。

可否详细分析一下

kastin

笨笨 发表于 2019-3-22 00:43
可否详细分析一下

因为 `g=\sin\frac{\pi}{11}\sin\frac{3\pi}{11}\sin\frac{4\pi}{11}\sin\frac{5\pi}{11}\sin\frac{9\pi}{11}=\sin\frac{2\pi}{11}\sin\frac{6\pi}{11}\sin\frac{7\pi}{11}\sin\frac{8\pi}{11}\sin\frac{10\pi}{11}`，故 `g^2=\prod_{k=1}^{10}\sin\frac{k\pi}{11}=\prod_{k=1}^{5}\sin^2\frac{k\pi}{11}=\frac{11}{4^5}`，因而 `g=11/32`.
所以 `\D K(k_{11})=\frac{(2k_{11}k\,'_{11})^{-1/6}}{8\sqrt{2}\pi^2}\Gamma(1/11)\Gamma(3/11)\Gamma(4/11)\Gamma(5/11)\Gamma(9/11)`，于是只需证 `\D \int_{\sqrt{33}}^{\oo}\frac{\dif x}{\sqrt{x^3-11x^2+11x+121}}=\frac43 (2k_{11}k\,'_{11})^{1/6}K(k_{11})`，然而 `k_{11}` 的表达式非常复杂，大概变形过程也会很复杂。

考虑代换 `y=3x-11`，有 `x^3-11x^2+11x+121=(y^3-264y+1694)/27=(y-y_1)(y-y_2)(y-y_3)/27`. 记 `\alpha=\sqrt[3]{11(77+\sqrt{33})}`，于是 `y_1=-(\alpha+88\alpha^{-1})`， `y_2=\frac12(\alpha+88\alpha^{-1})+\frac{\sqrt{3}i}{2}(\alpha-88\alpha^{-1})`，`y_3=\frac12(\alpha+88\alpha^{-1})-\frac{\sqrt{3}i}{2}(\alpha-88\alpha^{-1})`.

继续代换 `z=y-y_1`，于是\[\int_{\sqrt{33}}^{\oo}\dif x/\sqrt{x^3-11x^2+11x+121}=\int_{3\sqrt{33}-11+\alpha+88\alpha^{-1}}^{\oo}\frac{\sqrt{3}\dif z}{\sqrt{z[z-\frac32(\alpha+88\alpha^{-1})-\frac{\sqrt{3}}{2}i(\alpha-88\alpha^{-1})][z-\frac32(\alpha+88\alpha^{-1})+\frac{\sqrt{3}}{2}i(\alpha-88\alpha^{-1})]}} \]再令 `u=\sqrt{z}`，于是\[\int_{\sqrt{33}}^{\oo}\dif x/\sqrt{x^3-11x^2+11x+121}=\sqrt{3}\int_{\sqrt{3\sqrt{33}-11+\alpha+88\alpha^{-1}}}^{\oo}\frac{2\dif u}{\sqrt{(u^2+u_+^2)(u^2+u_-^2)}}=\sqrt{3}\int_{\frac12(u_0-\frac{u_+u_-}{u_0})}^{\oo}\frac{\dif x}{(x^2+p^2)(x^2+q^2)}\]其中 `u=x+\sqrt{x^2+p^2}`，`p=\sqrt{u_+u_-}`，`q=(u_++u_-)/2`，`u_0=\sqrt{3\sqrt{33}-11+\alpha+88\alpha^{-1}}`，`u_+^2=-\frac32(\alpha+88\alpha^{-1})-\frac{\sqrt{3}}{2}i(\alpha-88\alpha^{-1})`，`u_-^2=-\frac32(\alpha+88\alpha^{-1})+\frac{\sqrt{3}}{2}i(\alpha-88\alpha^{-1})`.
上面可以算出 `p^2=\sqrt{3(88+\alpha^2+7744\alpha^{-2})}`，`q^2=(2\sqrt{3(88+\alpha^2+7744\alpha^{-2})}-3(\alpha+88\alpha^{-1}))/4`.

下面我算不下去了，太复杂了。

笨笨

这篇论文我找不到啊，先生可否分享一下，谢谢

笨笨

kastin 发表于 2019-3-22 17:52
因为 `g=\sin\frac{\pi}{11}\sin\frac{3\pi}{11}\sin\frac{4\pi}{11}\sin\frac{5\pi}{11}\sin\frac{9\pi} ...

这个网站关闭了，打不开啊

kastin

笨笨 发表于 2019-3-23 21:48
这个网站关闭了，打不开啊

可能是你的网络问题

笨笨

kastin 发表于 2019-3-24 12:07
可能是你的网络问题

哎，遗憾，搞不定，罢了，先生应该是博士生吧，在此谢过

mathematica

kastin 发表于 2019-3-18 22:08
因为 `a=1,3,4,5,9` 时 `(\frac {a}{11})=1`，代入上面右边并利用Gamma函数余元公式，得\[(2k_{11}k'_{11}) ...

你懂得真多！