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[求助] 证∫dx/√(x^3-11x^2+11x+121)=Γ(1/11)Γ(3/11)Γ(4/11)Γ(5/11)Γ(9/11)/(6√2π^2)

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发表于 2019-3-17 19:44:05 | 显示全部楼层 |阅读模式

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证∫dx/√(x^3-11x^2+11x+121)=Γ(1/11)Γ(3/11)Γ(4/11)Γ(5/11)Γ(9/11)/(6√2π^2)
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毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2019-3-17 19:45:00 | 显示全部楼层
烦死了,都快一年了,各位老师或者路过的好心人,谁会??????
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2019-3-17 21:18:20 | 显示全部楼层
右边的1,3,4,5,9的次幂mod11正好形成循环,即除1外,mod(3^n,11)=1,3,4,5,9;mod(4^n,11)=1,3,4,5,9;mod(5^n,11)=1,3,4,5,9;mod(9^n,11)=1,3,4,5,9;这是巧合,还是有内部因素,n取正整数
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毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2019-3-17 21:47:45 | 显示全部楼层
白新岭 发表于 2019-3-17 21:18
右边的1,3,4,5,9的次幂mod11正好形成循环,即除1外,mod(3^n,11)=1,3,4,5,9;mod(4^n,11)=1,3,4,5,9 ...

就是因为对仗太工整了,所以很完美,半年了没人会
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2019-3-18 09:49:26 | 显示全部楼层
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发表于 2019-3-18 22:06:40 | 显示全部楼层
这个问题要用到Chowla–Selberg公式,它将一些有理数点上Gamma函值的连乘与二次无理数上戴德金eta函数值联系了起来,而后者通过解析数论理论可导出特定Gamma函数值的乘积与第一类完全椭圆积分 `K(k)` 的关系:
令 `k'\,^2=1-k^2`,若 `K(k')/K(k)=\sqrt{p}` (满足此条件的 `k`为某个代数数,我们可记为 `k_p`,它被称为椭圆积分的奇异值),那么有
\[2K(k_p)=(2k_pk'_p)^{-1/6}(\pi/p)^{1/2}\left(\prod_{\left(\frac ap\right)=1}\Gamma(a/p)/\prod_{\left(\frac bp\right)=-1}\Gamma(b/p)\right)^{w/4}\]其中 且  `0<a,\,b < p` 为整数,`p > 3` 时,`w=2`,`p=3` 时,`w=6`;`\left(\frac ap\right)` 为勒让德符号。
证明过程见论文 Selberg, Atle; Chowla, S (1967). On Epstein's zeta-function. J. Reine Angew. Math. 227, 86–110.

这里 https://archive.lib.msu.edu/crcmath/math/math/e/e103.htm 中给出了椭圆奇异值以及其椭圆积分值的列表,可见到不少这种神奇的等式。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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发表于 2019-3-18 22:08:52 | 显示全部楼层
因为 `a=1,3,4,5,9` 时 `(\frac {a}{11})=1`,代入上面右边并利用Gamma函数余元公式,得\[(2k_{11}k'_{11})^{-1/6}\left(\frac{\Gamma(1/11)\Gamma(3/11)\Gamma(4/11)\Gamma(5/11)\Gamma(9/11)}{\Gamma(2/11)\Gamma(6/11)\Gamma(7/11)\Gamma(8/11)\Gamma(10/11)}\right)^{1/2}=(2k_{11}k'_{11})^{-1/6}\Gamma(1/11)\Gamma(3/11)\Gamma(4/11)\Gamma(5/11)\Gamma(9/11)\sqrt{\frac{\sin\frac{\pi}{11}\sin\frac{3\pi}{11}\sin\frac{4\pi}{11}\sin\frac{5\pi}{11}\sin\frac{9\pi}{11}}{11\pi^4}}\]可见,要证明楼主的等式,需要将左边的积分通过一些变换后,与 `K(k_{11})` 联系起来,然后结合上面的中间结果以完成证明。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2019-3-18 22:24:49 | 显示全部楼层
变换过程可能比较复杂,也许会用到Landen变换以及椭圆积分的Carlson对称形式
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 楼主| 发表于 2019-3-18 23:26:24 | 显示全部楼层
本帖最后由 笨笨 于 2019-3-18 23:28 编辑

谢谢楼上各位老师及好友的分享及部分分析,楼主苦战了几晚终于完成一个奇异点
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 楼主| 发表于 2019-3-19 12:40:18 | 显示全部楼层
模数值为k7时怎么计算
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