证∫dx/√(x^3-11x^2+11x+121)=Γ(1/11)Γ(3/11)Γ(4/11)Γ(5/11)Γ(9/11)/(6√2π^2)

笨笨

证∫dx/√(x^3-11x^2+11x+121)=Γ(1/11)Γ(3/11)Γ(4/11)Γ(5/11)Γ(9/11)/(6√2π^2)

笨笨

烦死了，都快一年了，各位老师或者路过的好心人，谁会??????

白新岭

右边的1,3,4,5,9的次幂mod11正好形成循环，即除1外，mod（3^n，11）=1,3,4,5,9；mod（4^n，11）=1,3,4,5,9；mod（5^n，11）=1,3,4,5,9；mod（9^n，11）=1,3,4,5,9；这是巧合，还是有内部因素，n取正整数

笨笨

白新岭 发表于 2019-3-17 21:18
右边的1,3,4,5,9的次幂mod11正好形成循环，即除1外，mod（3^n，11）=1,3,4,5,9；mod（4^n，11）=1,3,4,5,9 ...

就是因为对仗太工整了，所以很完美，半年了没人会

lsr314

https://math.stackexchange.com/q ... -sqrtx3-11x211x121?
https://math.stackexchange.com/q ... frac14?noredirect=1

kastin

这个问题要用到Chowla–Selberg公式，它将一些有理数点上Gamma函值的连乘与二次无理数上戴德金eta函数值联系了起来，而后者通过解析数论理论可导出特定Gamma函数值的乘积与第一类完全椭圆积分 `K(k)` 的关系：
令 `k'\,^2=1-k^2`，若 `K(k')/K(k)=\sqrt{p}` (满足此条件的 `k`为某个代数数，我们可记为 `k_p`，它被称为椭圆积分的奇异值)，那么有
\[2K(k_p)=(2k_pk'_p)^{-1/6}(\pi/p)^{1/2}\left(\prod_{\left(\frac ap\right)=1}\Gamma(a/p)/\prod_{\left(\frac bp\right)=-1}\Gamma(b/p)\right)^{w/4}\]其中 且  `0<a,\,b < p` 为整数，`p > 3` 时，`w=2`，`p=3` 时，`w=6`；`\left(\frac ap\right)` 为勒让德符号。
证明过程见论文 Selberg, Atle; Chowla, S (1967). On Epstein's zeta-function. J. Reine Angew. Math. 227, 86–110.

这里 https://archive.lib.msu.edu/crcmath/math/math/e/e103.htm 中给出了椭圆奇异值以及其椭圆积分值的列表，可见到不少这种神奇的等式。

kastin

因为 `a=1,3,4,5,9` 时 `(\frac {a}{11})=1`，代入上面右边并利用Gamma函数余元公式，得\[(2k_{11}k'_{11})^{-1/6}\left(\frac{\Gamma(1/11)\Gamma(3/11)\Gamma(4/11)\Gamma(5/11)\Gamma(9/11)}{\Gamma(2/11)\Gamma(6/11)\Gamma(7/11)\Gamma(8/11)\Gamma(10/11)}\right)^{1/2}=(2k_{11}k'_{11})^{-1/6}\Gamma(1/11)\Gamma(3/11)\Gamma(4/11)\Gamma(5/11)\Gamma(9/11)\sqrt{\frac{\sin\frac{\pi}{11}\sin\frac{3\pi}{11}\sin\frac{4\pi}{11}\sin\frac{5\pi}{11}\sin\frac{9\pi}{11}}{11\pi^4}}\]可见，要证明楼主的等式，需要将左边的积分通过一些变换后，与 `K(k_{11})` 联系起来，然后结合上面的中间结果以完成证明。

kastin

变换过程可能比较复杂，也许会用到Landen变换以及椭圆积分的Carlson对称形式。

笨笨

谢谢楼上各位老师及好友的分享及部分分析，楼主苦战了几晚终于完成一个奇异点

笨笨

模数值为k7时怎么计算