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楼主: 笨笨

[求助] 证∫dx/√(x^3-11x^2+11x+121)=Γ(1/11)Γ(3/11)Γ(4/11)Γ(5/11)Γ(9/11)/(6√2π^2)

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 楼主| 发表于 2019-3-22 00:43:57 | 显示全部楼层
kastin 发表于 2019-3-18 22:24
变换过程可能比较复杂,也许会用到Landen变换以及椭圆积分的Carlson对称形式。

可否详细分析一下
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2019-3-22 17:52:55 | 显示全部楼层
本帖最后由 kastin 于 2019-3-22 18:00 编辑
笨笨 发表于 2019-3-22 00:43
可否详细分析一下

因为 `g=\sin\frac{\pi}{11}\sin\frac{3\pi}{11}\sin\frac{4\pi}{11}\sin\frac{5\pi}{11}\sin\frac{9\pi}{11}=\sin\frac{2\pi}{11}\sin\frac{6\pi}{11}\sin\frac{7\pi}{11}\sin\frac{8\pi}{11}\sin\frac{10\pi}{11}`,故 `g^2=\prod_{k=1}^{10}\sin\frac{k\pi}{11}=\prod_{k=1}^{5}\sin^2\frac{k\pi}{11}=\frac{11}{4^5}`,因而 `g=11/32`.
所以 `\D K(k_{11})=\frac{(2k_{11}k\,'_{11})^{-1/6}}{8\sqrt{2}\pi^2}\Gamma(1/11)\Gamma(3/11)\Gamma(4/11)\Gamma(5/11)\Gamma(9/11)`,于是只需证 `\D \int_{\sqrt{33}}^{\oo}\frac{\dif x}{\sqrt{x^3-11x^2+11x+121}}=\frac43 (2k_{11}k\,'_{11})^{1/6}K(k_{11})`,然而 `k_{11}` 的表达式非常复杂,大概变形过程也会很复杂。

考虑代换 `y=3x-11`,有 `x^3-11x^2+11x+121=(y^3-264y+1694)/27=(y-y_1)(y-y_2)(y-y_3)/27`. 记 `\alpha=\sqrt[3]{11(77+\sqrt{33})}`,于是 `y_1=-(\alpha+88\alpha^{-1})`, `y_2=\frac12(\alpha+88\alpha^{-1})+\frac{\sqrt{3}i}{2}(\alpha-88\alpha^{-1})`,`y_3=\frac12(\alpha+88\alpha^{-1})-\frac{\sqrt{3}i}{2}(\alpha-88\alpha^{-1})`.

继续代换 `z=y-y_1`,于是\[\int_{\sqrt{33}}^{\oo}\dif x/\sqrt{x^3-11x^2+11x+121}=\int_{3\sqrt{33}-11+\alpha+88\alpha^{-1}}^{\oo}\frac{\sqrt{3}\dif z}{\sqrt{z[z-\frac32(\alpha+88\alpha^{-1})-\frac{\sqrt{3}}{2}i(\alpha-88\alpha^{-1})][z-\frac32(\alpha+88\alpha^{-1})+\frac{\sqrt{3}}{2}i(\alpha-88\alpha^{-1})]}} \]再令 `u=\sqrt{z}`,于是\[\int_{\sqrt{33}}^{\oo}\dif x/\sqrt{x^3-11x^2+11x+121}=\sqrt{3}\int_{\sqrt{3\sqrt{33}-11+\alpha+88\alpha^{-1}}}^{\oo}\frac{2\dif u}{\sqrt{(u^2+u_+^2)(u^2+u_-^2)}}=\sqrt{3}\int_{\frac12(u_0-\frac{u_+u_-}{u_0})}^{\oo}\frac{\dif x}{(x^2+p^2)(x^2+q^2)}\]其中 `u=x+\sqrt{x^2+p^2}`,`p=\sqrt{u_+u_-}`,`q=(u_++u_-)/2`,`u_0=\sqrt{3\sqrt{33}-11+\alpha+88\alpha^{-1}}`,`u_+^2=-\frac32(\alpha+88\alpha^{-1})-\frac{\sqrt{3}}{2}i(\alpha-88\alpha^{-1})`,`u_-^2=-\frac32(\alpha+88\alpha^{-1})+\frac{\sqrt{3}}{2}i(\alpha-88\alpha^{-1})`.
上面可以算出 `p^2=\sqrt{3(88+\alpha^2+7744\alpha^{-2})}`,`q^2=(2\sqrt{3(88+\alpha^2+7744\alpha^{-2})}-3(\alpha+88\alpha^{-1}))/4`.

下面我算不下去了,太复杂了。
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 楼主| 发表于 2019-3-23 00:24:58 | 显示全部楼层
这篇论文我找不到啊,先生可否分享一下,谢谢
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点评

我没有这篇论文,你可以在这里购买 https://www.degruyter.com/view/j/crll.1967.issue-227/crll.1967.227.86/crll.1967.227.86.xml  发表于 2019-3-23 10:21
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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 楼主| 发表于 2019-3-23 21:48:16 | 显示全部楼层
kastin 发表于 2019-3-22 17:52
因为 `g=\sin\frac{\pi}{11}\sin\frac{3\pi}{11}\sin\frac{4\pi}{11}\sin\frac{5\pi}{11}\sin\frac{9\pi} ...

这个网站关闭了,打不开啊
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毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2019-3-24 12:07:51 | 显示全部楼层
笨笨 发表于 2019-3-23 21:48
这个网站关闭了,打不开啊

可能是你的网络问题
shot.jpg
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 楼主| 发表于 2019-3-24 13:26:28 | 显示全部楼层
本帖最后由 笨笨 于 2019-3-24 13:32 编辑
kastin 发表于 2019-3-24 12:07
可能是你的网络问题


哎,遗憾,搞不定,罢了,先生应该是博士生吧,在此谢过
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发表于 2021-1-20 22:37:16 | 显示全部楼层
kastin 发表于 2019-3-18 22:08
因为 `a=1,3,4,5,9` 时 `(\frac {a}{11})=1`,代入上面右边并利用Gamma函数余元公式,得\[(2k_{11}k'_{11}) ...

你懂得真多!
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