长方形纸剪一刀拼成正方形

manthanein

给定一个\(m×n\)的长方形纸，要求沿一条线剪一刀，使得分成的两部分可以拼成一个正方形，什么情况下才有可能？

gxqcn

如何将长方形裁剪一次得到等面积正方形？

manthanein

gxqcn 发表于 2019-10-29 07:35
如何将长方形裁剪一次得到等面积正方形？

这算是一个特例，现在考虑的是一般情况。

hujunhua

\[m=\frac{k}{k+1}, n=\frac{k+1}k，k∈N\]
示例：k=3的图

manthanein

hujunhua 发表于 2019-10-29 13:21
\[m=\frac{k}{k+1}, n=\frac{k+1}k，k∈N\]

这是一类解，问题在于如何证明只有这一类解。

hujunhua

我来试证一下。

1.  在拼接为长方形时，周长变大了，因此剪开线两侧必有一部分成为了长方形的边界段。
2.  不可能有一块完整地保留了原正方形的两条邻边，因为这将使长方形的面积大于正方形。
3.  只能剪开为两块，所以剪开线必是一条简单的非封闭曲线（封闭曲线与2相矛盾），记为C。
     按2，C的两端——记为 D 和 E——必须分处于正方形的相对两边上，且不在顶点。
设剪开为A、B两块，剪开线在A、B两块上的边界段曲线记为`D_AE_A`, `D_BE_B`.
4.  分割线DE在端点垂直于正方形的边界。
    否则出现“钝角+锐角的分割，分割边在拼接中只能自相重合。这与1相矛盾。

        
（未完，有事去了，欢迎接续）

王守恩

我们称可以剪的格子叫大格子，不可以剪的格子叫小格子，
大格子由m格小格子*n格小格子组成，小格子由m个小正方形*n个小正方形组成，
大格子=1*2，小格子=1*2，合计1*2*1*2=01*04=02*02=大正方形
大格子=2*3，小格子=2*3，合计2*3*2*3=04*09=06*06=大正方形
大格子=3*4，小格子=3*4，合计3*4*3*4=09*16=12*12=大正方形
大格子=4*5，小格子=4*5，合计4*5*4*5=16*25=20*20=大正方形
大格子=5*6，小格子=5*6，合计5*6*5*6=25*36=30*30=大正方形
大格子=6*7，小格子=6*7，合计6*7*6*7=36*49=42*42=大正方形
大格子=7*8，小格子=7*8，合计7*8*7*8=49*64=56*56=大正方形
大格子=8*9，小格子=8*9，合计8*9*8*9=64*81=72*72=大正方形
..........
对不起！说了半天，还是没有解决主帖的问题。