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[讨论] 长方形纸剪一刀拼成正方形

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发表于 2019-10-29 00:08:58 | 显示全部楼层 |阅读模式

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给定一个\(m×n\)的长方形纸,要求沿一条线剪一刀,使得分成的两部分可以拼成一个正方形,什么情况下才有可能?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2019-10-29 07:35:29 | 显示全部楼层
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2019-10-29 12:06:23 | 显示全部楼层
gxqcn 发表于 2019-10-29 07:35
如何将长方形裁剪一次得到等面积正方形?

这算是一个特例,现在考虑的是一般情况。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2019-10-29 13:21:58 | 显示全部楼层
\[m=\frac{k}{k+1}, n=\frac{k+1}k,k∈N\]
示例:k=3的图
AC011007-4778-442C-AE3D-4AD2CD35D6AC.jpeg

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 楼主| 发表于 2019-10-29 13:42:32 | 显示全部楼层
hujunhua 发表于 2019-10-29 13:21
\[m=\frac{k}{k+1}, n=\frac{k+1}k,k∈N\]


这是一类解,问题在于如何证明只有这一类解。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2019-11-3 19:49:45 | 显示全部楼层
我来试证一下。

1.  在拼接为长方形时,周长变大了,因此剪开线两侧必有一部分成为了长方形的边界段。
2.  不可能有一块完整地保留了原正方形的两条邻边,因为这将使长方形的面积大于正方形。
3.  只能剪开为两块,所以剪开线必是一条简单的非封闭曲线(封闭曲线与2相矛盾),记为C。
     按2,C的两端——记为 D 和 E——必须分处于正方形的相对两边上,且不在顶点。
设剪开为A、B两块,剪开线在A、B两块上的边界段曲线记为`D_AE_A`, `D_BE_B`.
4.  分割线DE在端点垂直于正方形的边界。
    否则出现“钝角+锐角的分割,分割边在拼接中只能自相重合。这与1相矛盾。

        
(未完,有事去了,欢迎接续)
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发表于 2019-11-8 13:09:38 | 显示全部楼层
我们称可以剪的格子叫大格子,不可以剪的格子叫小格子,
大格子由m格小格子*n格小格子组成,小格子由m个小正方形*n个小正方形组成,
大格子=1*2,小格子=1*2,合计1*2*1*2=01*04=02*02=大正方形
大格子=2*3,小格子=2*3,合计2*3*2*3=04*09=06*06=大正方形
大格子=3*4,小格子=3*4,合计3*4*3*4=09*16=12*12=大正方形
大格子=4*5,小格子=4*5,合计4*5*4*5=16*25=20*20=大正方形
大格子=5*6,小格子=5*6,合计5*6*5*6=25*36=30*30=大正方形
大格子=6*7,小格子=6*7,合计6*7*6*7=36*49=42*42=大正方形
大格子=7*8,小格子=7*8,合计7*8*7*8=49*64=56*56=大正方形
大格子=8*9,小格子=8*9,合计8*9*8*9=64*81=72*72=大正方形
..........
对不起!说了半天,还是没有解决主帖的问题。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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