代数方程的虚根判定问题

dingjifen

mathe 发表于 2020-1-21 18:07
我们可以考虑函数$f_{2n}(x)=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-....+(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}$
类似定 ...

虽看不明白mathe管理员的推理，但我的推理是这样的——

1、当n相当大（可以认为接近无限大）时，1+x/2!+x²/4!+x³/6!+……+xⁿ/(2n)!=ch(√x)。

2、而ch(√x)=0无虚根，故当n相当大时，1+x/2!+x²/4!+x³/6!+……+xⁿ/(2n)!=0无虚根。

zeroieme

dingjifen 发表于 2020-1-21 20:47
虽看不明白mathe管理员的推理，但我的推理是这样的——

1、当n相当大（可以认为接近无限大）时，1+x ...

收敛性呢

dingjifen

mathe 发表于 2020-1-21 20:44
随着n增大，虚根数目是不减的，所以必然虚根数目只会越来越多，而实根的比例接近$\frac2{\pi e}$才是合理的 ...

1、由21楼的结论可以看出：在方程（1）有虚根时，必存在n的最大值，尽管n的最大值是相当之大。

2、 问题在于n的最大值是多少呢？

dingjifen

mathe 发表于 2020-1-21 20:44
随着n增大，虚根数目是不减的，所以必然虚根数目只会越来越多，而实根的比例接近$\frac2{\pi e}$才是合理的 ...

当方程次数n相当大时，1楼方程（1）无虚根的进一步证明：

1+x/2!+x²/4!+x³/6!+……+xⁿ/(2n)!
=ch(√x)
=[1+4x/π²][1+4x/(3π)²][1+4x/(5π)²]……[1+4x/(2nπ-π)²]

当方程次数n相当大时，上面的级数函数与乘积函数是趋向同一函数，故方程（1）无虚根。

dingjifen

mathe 发表于 2020-1-21 20:44
随着n增大，虚根数目是不减的，所以必然虚根数目只会越来越多，而实根的比例接近$\frac2{\pi e}$才是合理的 ...

此两种推理的矛盾，说明下面的一个原则问题：

————若mathe管理员的推理是正确的，则级数理论与无穷乘积理论有问题，尤其是级数理论有严重问题。

mathe

你还没有学会正确理解无穷数量的数学概念。随意将有限概念推及无穷必然会有荒谬的结论，你可以阅读一下 无限旅馆

dingjifen

mathe 发表于 2020-1-23 07:15
你还没有学会正确理解无穷数量的数学概念。随意将有限概念推及无穷必然会有荒谬的结论，你可以阅读一下 无 ...

只是看不明白你在17楼的结论：方程（1）实数根数目约等于2n/(eπ)————这是如何推理出来的？方程（2）实数根数目是否也是约等于2n/(eπ)？

dingjifen

mathe 发表于 2020-1-23 07:15
你还没有学会正确理解无穷数量的数学概念。随意将有限概念推及无穷必然会有荒谬的结论，你可以阅读一下 无 ...

不过，有一点是肯定千真万确的——当方程次数n趋向∞时，代数方程（1）（2）变成级数方程，没有虚根。