试证明此矩阵是否可逆

kaien

lsr314 发表于 2020-7-23 18:48
我是硬算算出了前几项，然后得出一个公式

好的，谢谢！
目前感觉行列式的通项公式可能不太容易用简单的公式表示。
从目前的特例观察可以看出，行列式的通项公式应该关于n是指数增长，关于d是阶乘增长的。
现在可能更容易研究的是：证明$\det V(n,d)>0$。 或者证明$\det V(n,d)$关于$n$和$d$都是递增的。
这样就能证明矩阵$V(n,d)$的可逆性，如果能得到非构造方式的可逆性证明，就已经是很好的了。期待能看到更多新的idea和方法。

kaien

按0的位置和个数调整\(B(n,d)\) 的行顺序，我们可以把矩阵`V(n,d)`写成分块三角矩阵。进而得到如下公式:
\[ \det V(n,d) = \prod_{i=1}^{\min\{d,n\}} \left(\det \widetilde{V} (i,d) \right)^{n\choose i} \]
其中 \(\widetilde{V} (i,d) \) 是把`d`个小球放入`i`个盒子且每个盒子均不为空时的幂积矩阵。
需要证明`i=1,\ldots,\min\{d,n\}`时 `\det \widetilde{V} (i,d)  >0.`
目前知道当`i=1,2,d-1,d`这四种情况下`\det \widetilde{V} (i,d)  >0`是成立的，还需要证明其他情况。

kaien

lsr314 发表于 2020-7-23 18:48
我是硬算算出了前几项，然后得出一个公式

能否举个例子说明一下，例如d=4时`\det V(n,4)`的公式计算步骤？谢谢！

lsr314

先定义$V(n,d)$:

1. f[a_, b_]:=If[a==0 && b==0, 1, a^b]
   
2. ff[u_, v_]:=Product[f[u[[k]], v[[k]]], {k, Length[u]}]
   
3. 
   
4. V[n_, d_]:=(
   
5.    X=Table[x[i], {i, 1, n}];
   
6.    g=X/.Solve[Total[X]==d && And@@NonNegative[X],X,Integers];
   
7.    gg=Table[ff[s, t], {s, g}, {t, g}];
   
8.    FactorInteger[Det[gg]])

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然后算$V(n,d)$的前几个值：

1. Table[V[n, 4], {n, 6}] // Column

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最后求公式：

1. FindSequenceFunction[{8, 25, 56, 106, 180, 283}, n]
   
2. FindSequenceFunction[{0, 2, 6, 12, 20, 30}, n]

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hujunhua

lsr314 发表于 2020-7-29 10:12
先定义$V(n,d)$:

1. power[x_, y_]:=If[x==y==0, 1, x^y];
   
2. PowerTimes[u_List, v_List]:=Inner[power, u, v, Times];(*定义幂积函数*)
   
3. B[n_, d_]:=Module[{n0=n, d0=d},
   
4.    order0[x_List]:=FromDigits[Join@@Position[x, 0], d0 + 1];(*按0的分布取序号函数*)
   
5.    Reverse@SortBy[Join@@Permutations/@(IntegerPartitions[d0+n0, {n0}]-1), order0]];(*生成按0的分布排序的组合矩阵*)
   
6. V[n_, d_]:=Outer[PowerTimes, B[n, d], B[n, d], 1];(*生成幂积矩阵——呈分块的三角矩阵*)

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hujunhua

V(1,4)~V(4,4)

hujunhua

V(1,1)~V(4,3)

hujunhua

26#的程序运行结果证实了@mathe在16#的断言，和楼主在22#的公式。
在计算结果的启示下，也容易完成证明。
为了看清楚分块三角化，下面以V(4,4)为例进行了着色

问题转化为：
把$d\in \mathbb{N}^{\ast}$个小球放入$n\in \mathbb{N}^{\ast}$个箱子中(`d\ge n`, 箱子不可为空), 对应的幂积矩阵是否可逆？

lsr314

hujunhua 发表于 2020-7-29 19:54
26#的程序运行结果证实了@mathe在16#的断言，和楼主在22#的公式。
在计算结果的启示下，也容易完成证明。
...

先在每个箱子放一个球，问题就变成原问题了