试证明此矩阵是否可逆

kaien

题目: 试证明矩阵$V(n,d)$可逆。

已知把$d\in \mathbb{N}^{\ast}$个小球放入$n\in \mathbb{N}^{\ast}$个箱子有`m=\begin{pmatrix}n+d-1\\d\end{pmatrix}`种组合(箱子可以为空)，记组合 `i` 的箱子 `k` 中放入了 `a_k^i` 个球.
组合 `i` 关于组合 `j` 的幂积定义为\[v_{i,j}= \prod_{k=1}^{n}(a_k^i)^{a_k^j},(定义\ 0^0=1)\]
证明: 幂积矩阵$V(n,d)=[v_{i,j}]_{m×m}$可逆或找到一个不可逆的反例。

引申的问题:

• 计算行列式$detV(n,d)$。
• 如果矩阵$V(n,d)$可逆，尝试给出$V^{-1}(n,d)$的表达式。
  

期待高人答疑解惑，不胜感激！

kaien

组合 `i ` 记为$alpha^i:=[a_k^i]_n$, 组合矩阵$B(n,d):=[a_k^i]_{n×m}$.
以`d=n=3`为例，`m=10`,\[B(3,3)=\begin{bmatrix}0, 0, 3\\0, 3, 0\\3, 0, 0\\0, 2, 1\\0, 1, 2\\2, 0, 1\\1,
   0, 2\\1, 2, 0\\2, 1, 0\\1, 1, 1\end{bmatrix},V(3,3)=\begin{bmatrix}27, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0\\0, 27, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0\\0,0, 27, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0\\1, 8, 0, 4, 2, 0, 0, 0, 0, 0\\8, 1,0, 2, 4, 0, 0, 0, 0, 0\\1, 0, 8, 0, 0, 4, 2, 0, 0, 0\\8, 0, 1,0, 0, 2, 4, 0, 0, 0\\0, 8, 1, 0, 0, 0, 0, 4, 2, 0\\0, 1, 8, 0,0, 0, 0, 2, 4, 0\\1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1\end{bmatrix}\]
`\alpha^i`即$B(3,3)$的第 `i` 行。

lsr314

试了几个例子，发现$detV(n,d)=\prod_{p=1}^dp^(f_p(n))$，其中$f_p(n)$是关于n的多项式, 并且$f_p(n)$在n>0时是递增的。比如：
$detV(n,1)=1,V(1,d)=d^d$.
$detV(n,2)=2^(2n)$,
$detV(n,3)=2^(n(n-1))*3^((n(n+5))/2)$,
$detV(n,4)=2^((5n^3+12n^2+31n)/6)*3^(n(n-1))$.

lsr314

$detV(n,5)=2^(((n-1) (14 n + 3 n^2 + n^3))/6)×3^(( (n-1) (n + n^2))/2)×5^(((74 n + 35 n^2 + 10 n^3 + n^4))/24)$

lsr314

很早以前，大概2012年前后，论坛公式显示出来是蓝色的好像，字体也很好看，现在公式显示出来看不太清楚，不知道是不是浏览器的问题

kaien

是的，就是不知道如何确定$f_p(n)$的一般表达式。从这些观察来看，也说明`V(n,d)`应该的确是可逆矩阵。

lsr314

kaien 发表于 2020-7-21 18:36
是的，就是不知道如何确定$f_p(n)$的一般表达式。从这些观察来看，也说明V应该的确是可逆矩阵。

就现在的观察来说，多项式的次数都不超过d-1,所以只要求出前d项，就能确定$f_p(n)$的表达式。

kaien

lsr314 发表于 2020-7-22 10:32
就现在的观察来说，多项式的次数都不超过d-1,所以只要求出前d项，就能确定$f_p(n)$的表达式。

似乎的确是这样的。因为$V(n,d)$是个整数矩阵，所以行列式 $detV(n,d)inZ$, 有标准质因数分解 \[\det V(n,d)= (-1)^{s(n,d)} \prod_{k \in \text{prime}} p^{f_p(n,d)}\]
其中\(s\)和\(f_p\)都是关于\(n\)和\(d\)的数论函数，在这个问题中很可能都是多项式型。

lsr314

kaien 发表于 2020-7-22 11:06
似乎的确是这样的。因为$V(n,d)$是个整数矩阵 ...

应该有$detV(n,d)>0$并且$p≤d$

lsr314

不过比起结果，我更好奇这个$V$有什么意义，你是怎么想到要求这个矩阵/行列式的？