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楼主: kaien

[提问] 试证明此矩阵是否可逆

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 楼主| 发表于 2020-7-22 11:18:14 | 显示全部楼层
lsr314 发表于 2020-7-22 11:13
应该有$detV(n,d)>0$并且$p≤d$


是的,这是我们希望能证明的。目前还只是猜测。
如果`s(n,d)`是某种合适的数(如偶数),就可以确定$detV(n,d)>0$,也就可以断定$V(n,d)$可逆。如果 `p` 的取值范围和 `f_p` 的表达式可以确定, 那么就可以得到$detV(n,d)$的计算公式了。
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 楼主| 发表于 2020-7-22 11:24:03 | 显示全部楼层
lsr314 发表于 2020-7-22 11:18
不过比起结果,我更好奇这个$V(n,d)$有什么意义,你是怎么想到要求这个矩阵/行列式的?


这个矩阵发现很偶然。我在研究齐次多项式空间的齐次式凸基表示论的时候发现,当且仅当该矩阵可逆时可以构造出一组这样的凸基来。
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发表于 2020-7-22 17:03:38 | 显示全部楼层
kaien 发表于 2020-7-22 11:24
这个矩阵发现很偶然。我在研究齐次多项式空间的齐次式凸基表示论的时候发现,当且仅当该矩阵可逆时可以构 ...

虽然看不懂,但是证明基的存在性除了直接算行列式,还可以构造一些含待定系数的表达式,然后用抽屉原理来证明非零解的存在。
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 楼主| 发表于 2020-7-23 02:15:49 | 显示全部楼层
是这样的,其实基的存在性我已经有了一个非构造性证明。但构造一组这样的基才是问题的关键,否则没有应用的价值。我认为找到了一个满足要求的基,于是验证的时候发现需要这样的矩阵可逆才行。
待定系数的方法验证试过的,情况变得更加复杂,需要验证一个更复杂的矩阵的可逆性~~~
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发表于 2020-7-23 09:08:09 | 显示全部楼层
kaien 发表于 2020-7-23 02:15
是这样的,其实基的存在性我已经有了一个非构造性证明。但构造一组这样的基才是问题的关键,否则没 ...


从$detV(n,d)$的表达式来看,$(detV(n+1,d))/(detV(n,d))$一般是正整数,并且$detV(1,d)=d^d$,可以考虑对n使用归纳法。
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发表于 2020-7-23 10:49:54 来自手机 | 显示全部楼层
可以将所有模式按0的数目从多到少排列,是一个分块三角阵。关键是证明每个分块的行列式非零。
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 楼主| 发表于 2020-7-23 13:57:51 | 显示全部楼层
这几天我也在思考这个方向,其实合适的选择组合矩阵`B(n,d)`的行顺序,可以证明 \[V(n+1,d)=\begin{bmatrix}V(n,d)&0\\W&Z\end{bmatrix}.\]然后通过数学归纳法,只需证明Z块是可逆的即可。
但`Z`块的结构和尺寸都比较复杂,目前知道的是`Z`块的尺寸小于`V(n,d)`块的尺寸当且仅当`n<d`。如果进一步调整`B(n,d)`的行顺序,对`Z`块分块就好办了,但目前还没找到较好的思路。
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 楼主| 发表于 2020-7-23 16:18:37 | 显示全部楼层
BTW: 补充一下,分块的方法主要问题计算每个块是否可逆,特别是其中 \(\alpha^i\)和\(\alpha^j\)的元素都不为0的块\( [(\alpha^i)^{\alpha^j}]_{(i,j)} \) 是否可逆。
而包含0元素的块总可以像18楼那样表示成分块三角矩阵。
此外,除了固定n,变化d,我们也可以考虑固定d变化n。
目前计算得到:
$detV(1,d) = d^d$
$detV(2,d) = d^{(d(d+1))/2}\prod_{k=1}^d k!$
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 楼主| 发表于 2020-7-23 17:23:38 | 显示全部楼层
lsr314 发表于 2020-7-23 09:08
从$detV(n,d)$的表达式来看,$(detV(n+1,d))/(detV(n,d))$一般是正整数,并且$detV(1,d)=d^d$,可以考虑对n使用归纳 ...

请问4楼和5楼的公式是通过什么方法获得到?
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发表于 2020-7-23 18:48:02 | 显示全部楼层
kaien 发表于 2020-7-23 17:23
请问4楼和5楼的公式是通过什么方法获得到?

我是硬算算出了前几项,然后得出一个公式
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