试证明此矩阵是否可逆

kaien

lsr314 发表于 2020-7-22 11:13
应该有$detV(n,d)>0$并且$p≤d$

是的，这是我们希望能证明的。目前还只是猜测。
如果`s(n,d)`是某种合适的数（如偶数），就可以确定$detV(n,d)>0$，也就可以断定$V(n,d)$可逆。如果 `p` 的取值范围和 `f_p` 的表达式可以确定, 那么就可以得到$detV(n,d)$的计算公式了。

kaien

lsr314 发表于 2020-7-22 11:18
不过比起结果，我更好奇这个$V(n,d)$有什么意义，你是怎么想到要求这个矩阵/行列式的？

这个矩阵发现很偶然。我在研究齐次多项式空间的齐次式凸基表示论的时候发现，当且仅当该矩阵可逆时可以构造出一组这样的凸基来。

lsr314

kaien 发表于 2020-7-22 11:24
这个矩阵发现很偶然。我在研究齐次多项式空间的齐次式凸基表示论的时候发现，当且仅当该矩阵可逆时可以构 ...

虽然看不懂，但是证明基的存在性除了直接算行列式，还可以构造一些含待定系数的表达式，然后用抽屉原理来证明非零解的存在。

kaien

是这样的，其实基的存在性我已经有了一个非构造性证明。但构造一组这样的基才是问题的关键，否则没有应用的价值。我认为找到了一个满足要求的基，于是验证的时候发现需要这样的矩阵可逆才行。
待定系数的方法验证试过的，情况变得更加复杂，需要验证一个更复杂的矩阵的可逆性~~~

lsr314

kaien 发表于 2020-7-23 02:15
是这样的，其实基的存在性我已经有了一个非构造性证明。但构造一组这样的基才是问题的关键，否则没 ...

从$detV(n,d)$的表达式来看，$(detV(n+1,d))/(detV(n,d))$一般是正整数，并且$detV(1,d)=d^d$,可以考虑对n使用归纳法。

mathe

可以将所有模式按0的数目从多到少排列，是一个分块三角阵。关键是证明每个分块的行列式非零。

kaien

这几天我也在思考这个方向，其实合适的选择组合矩阵`B(n,d)`的行顺序，可以证明 \[V(n+1,d)=\begin{bmatrix}V(n,d)&0\\W&Z\end{bmatrix}.\]然后通过数学归纳法，只需证明Z块是可逆的即可。
但`Z`块的结构和尺寸都比较复杂，目前知道的是`Z`块的尺寸小于`V(n,d)`块的尺寸当且仅当`n<d`。如果进一步调整`B(n,d)`的行顺序，对`Z`块分块就好办了，但目前还没找到较好的思路。

kaien

BTW: 补充一下，分块的方法主要问题计算每个块是否可逆，特别是其中 \(\alpha^i\)和\(\alpha^j\)的元素都不为0的块\( [(\alpha^i)^{\alpha^j}]_{(i,j)} \) 是否可逆。
而包含0元素的块总可以像18楼那样表示成分块三角矩阵。
此外，除了固定n，变化d，我们也可以考虑固定d变化n。
目前计算得到:
$detV(1,d) = d^d$
$detV(2,d) = d^{(d(d+1))/2}\prod_{k=1}^d k!$

kaien

lsr314 发表于 2020-7-23 09:08
从$detV(n,d)$的表达式来看，$(detV(n+1,d))/(detV(n,d))$一般是正整数，并且$detV(1,d)=d^d$,可以考虑对n使用归纳 ...

请问4楼和5楼的公式是通过什么方法获得到？

lsr314

kaien 发表于 2020-7-23 17:23
请问4楼和5楼的公式是通过什么方法获得到？

我是硬算算出了前几项，然后得出一个公式