四边形的对扭变换

mathe

应该是等价的

hujunhua

16#和18#基本上把问题的解揭示出来了。
对于非内接于圆的一般四边形，虽然没有圆心了，但是两条对角线中垂线的交点是圆心的恰当演替，起到了内接于圆时圆心的作用，将四边形划分成了不变的4个三角形。
对扭变换，不过是这4个三角形的翻转排列，所以变换链是有限闭合的。

保持其中的一个三角形，比如三角形4不动，一般情况下，变换链的周长为6.

6 对我来说就是无穷大了，比 3 有面子多了

mathe

关于变换链是有限闭合，还有另外一种解释。
假设四边形四条边长开始依次为a,b,c,d, 对扭变换会对边长顺序进行置换，由于只有六种不同的顺序可能，所以最多经过六次变换顺序必然出现重复。又因为变换可逆，所以边长的顺序必然出现周期T1。
每经过一个周期T1，边长顺序回到a,b,c,d. 按这个指定顺序排列的所有四边形中，假设其中一条对角线长度为f。 其中a,b,f; c,d,f将四边形划分为两个三角形，面积随 f 而定，是 f 的有理根式函数。利用海伦公式可知，四边形面积可以写成关于参数f的两个四次函数再开根号之和，于是给定四边形的面积，f的可能最多有限种（去根号后变成次数不超过8次多项式，所以f最多8个根，而实际上应该不超过两个根）。
变换是保持面积S不变的，所以每经过一个周期T1，对角线f的选择有限，经过有限个周期T1，必然出现对角线长度重复的情况，于是可以完全确定四边形的形状，即形状出现重复。
另外面积取最大值情况，只能是圆的内接四边形，这时，对角线f的取值必然唯一，所以经过周期T1时，形状就会重复出现。

mathe

如图，每次保持面积和四个角的大小，但是调整边长，也可以得到周期6的变换