四边形的对扭变换

hujunhua

将一个四边形ABCD沿它的一条对角线AC剪开为两个三角形，然后让△ABC与△ACD绕对角线AC的中垂线相对扭转180度，再沿对角线AC重新拼接成一个新的四边形。
我们将这样的操作称为四边形的对扭变换。
相对扭转，可以让△ABC不动，让ACD扭转180度，这样新四边形可记为ABCD'。亦可让△ACD不动，让ABC扭转180度，这样新四边形可记为AB'CD。
四边形有两条对角线，故有两个对扭变换。
从一个四边形出发，交替使用两个对扭变换，就能不断生成新的四边形，形成一个单链。

除了保持四边形的四条边长不变（不计顺序），对扭变换是等积等周的，并保持四边形的对角之和不变。

当四边形ABCD内接于圆时，对扭变换保持外接圆不变，而圆内接四边形的边长排列只有3个（镜像对称视为相同）。
所以圆内接四边形的对扭变换链的长度为3，会形成一个链环。

问题：对于非内接于圆的四边形，对扭变换链会有限封闭吗，条件是什么？

hujunhua

除了内接于圆的四边形，还有几种简单的特殊四边形的对扭变换也是有限封闭的。
1、菱形，不产生新形状的四边形。
2、镖形1`\rightleftharpoons`平行四边形`\rightleftharpoons`镖形2，链长亦为3.
3、有两条等长边的四边形：邻边相等四边形1`\rightleftharpoons`一组对边相等的四边形`\rightleftharpoons`邻边相等四边形2，链长为3.
4、有三条等长边的四边形，不产生新形状的四边形。

hujunhua

对扭变换不保凸，对于凹四边形和扭四边形也一样可操作。

yigo

用几何画板迭代了下，一般四边形也都是3次变换结束。

hujunhua

yigo 发表于 2021-2-25 09:33
用几何画板迭代了下，一般四边形也都是3次变换结束。

不太可能吧。

最近没有时间细心研究它，偷懒提到论坛想捡现成，要是这么简单，有点打脸啊。

mathe

没有遇到周期

mathe

可以先分析一步变换相等的情况，可以得出至少三条边相等。而四条边全部相等的平凡情况是否可以看成特殊的周期零情况？
而另外一方面，三条边相等，容易证明一次变换后还是自身，所以这是一步变换到自身的充分必要条件。

a b c d == a b d c
  c=d,  { a b c c, => a c b c 淘汰}
a b c d == b d c a
  a=b=d
a b c d == d c a b
  d=b=c=a
a b c d == c a b d
  a=c=b
a b c d == a c d b
  b=c=d
a b c d = b a c d
   a=b, c=d {a a c c, => a c a c 淘汰}
a b c d = d b a c
   a=d=c
a b c d = c d b a
   a=c=b=d

所以一步变换到自身时可以不是圆的内接四边形。

mathe

现在分析两步变换到自身的必要条件:
a b c d => a b d c => a d b c

a b c d = a d b c
   b=d=c,一步变换到自身
a b c d = a c b d
   b=c,
a b c d = d b c a
   a=d
a b c d = d a c b
   a=d=b, 一步变换到自身
a b c d = b c a d
   a=b=c, 一步变换到自身
a b c d = b d a c
  a=b=d=c, 周期零
a b c d = c a d b
  a=c=b=d, 周期零
a b c d = c b d a
  a=c=d, 一步变换到自身

所以只余下b=c或a=d两种情况需要分析。
查看b=c的情况，

第一次变换后得蓝色边，第二次变换后得橙色边。可以看出b=c不必然变换为相等图形。
通过调整两条黑色b边夹角使得这个角等于橙色b边和相邻黑色b边的夹角，得到b=c时两步变换的情况，做图得出这时四边形是圆的内接四边形。（还没有证明）

mathe

三次变换复原必然四点共圆的证明
在四边长度都不相同的情况下，如果三次变换复原，如图
可以让每次变换都是长度为a的边被翻转（b,c,d轮换参与）。
那么$DCD_1B$必然组成等腰梯形，并且四点共圆，圆心O.
于是圆心角COD是圆周角CBD的两倍，必然等于叫CID.得出$CDIO$四点公园，同样$IC_1BO$四点共圆。
三次变换复原代表$/_DC_1B_2=/_CBE$,即$/_IC_1J=/_IBJ$,所以$IC_1BJ$四点共圆，即$IC_1BJO$五点共圆。
所以O在三角形$BC_1J$的外接圆上，而且O在$BC_1$中垂线上。
同理可以证明等腰梯形$DE_3EB_2$的外接圆圆心O'在三角形$EB_2J$的外接圆上而且在$EB_2$的中垂线上。
而我们可以证明等腰梯形$EB_2BC_1$的外接圆圆心同时满足上面的条件，得出O和O'是一个点，所以得出
$DCC_1BB_2EE_3$都在一个以O为圆心的圆上。

zhouguang

貌似任何四边形都是三次恢复的。