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[原创] 四边形的对扭变换

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发表于 2021-2-23 10:55:16 | 显示全部楼层 |阅读模式

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将一个四边形ABCD沿它的一条对角线AC剪开为两个三角形,然后让△ABC与△ACD绕对角线AC的中垂线相对扭转180度,再沿对角线AC重新拼接成一个新的四边形。
我们将这样的操作称为四边形的对扭变换。
相对扭转,可以让△ABC不动,让ACD扭转180度,这样新四边形可记为ABCD'。亦可让△ACD不动,让ABC扭转180度,这样新四边形可记为AB'CD。
四边形有两条对角线,故有两个对扭变换。
从一个四边形出发,交替使用两个对扭变换,就能不断生成新的四边形,形成一个单链。
凸四边形的半扭变换.PNG
除了保持四边形的四条边长不变(不计顺序),对扭变换是等积等周的,并保持四边形的对角之和不变。

当四边形ABCD内接于圆时,对扭变换保持外接圆不变,而圆内接四边形的边长排列只有3个(镜像对称视为相同)。
所以圆内接四边形的对扭变换链的长度为3,会形成一个链环。

问题:对于非内接于圆的四边形,对扭变换链会有限封闭吗,条件是什么?
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 楼主| 发表于 2021-2-23 11:28:44 | 显示全部楼层

几种简单的特殊情况

除了内接于圆的四边形,还有几种简单的特殊四边形的对扭变换也是有限封闭的。
1、菱形,不产生新形状的四边形。
2、镖形1`\rightleftharpoons`平行四边形`\rightleftharpoons`镖形2,链长亦为3.
3、有两条等长边的四边形:邻边相等四边形1`\rightleftharpoons`一组对边相等的四边形`\rightleftharpoons`邻边相等四边形2,链长为3.
4、有三条等长边的四边形,不产生新形状的四边形。
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 楼主| 发表于 2021-2-23 11:37:43 | 显示全部楼层
对扭变换不保凸,对于凹四边形和扭四边形也一样可操作。
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发表于 2021-2-25 09:33:44 | 显示全部楼层
用几何画板迭代了下,一般四边形也都是3次变换结束。
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 楼主| 发表于 2021-2-25 17:33:13 | 显示全部楼层
yigo 发表于 2021-2-25 09:33
用几何画板迭代了下,一般四边形也都是3次变换结束。

不太可能吧。

最近没有时间细心研究它,偷懒提到论坛想捡现成,要是这么简单,有点打脸啊。
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发表于 2021-2-27 22:36:54 | 显示全部楼层
iter.png
没有遇到周期
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发表于 2021-2-28 08:49:04 | 显示全部楼层
可以先分析一步变换相等的情况,可以得出至少三条边相等。而四条边全部相等的平凡情况是否可以看成特殊的周期零情况?
而另外一方面,三条边相等,容易证明一次变换后还是自身,所以这是一步变换到自身的充分必要条件。

a b c d == a b d c
  c=d,  { a b c c, => a c b c 淘汰}
a b c d == b d c a
  a=b=d
a b c d == d c a b
  d=b=c=a
a b c d == c a b d
  a=c=b
a b c d == a c d b
  b=c=d
a b c d = b a c d
   a=b, c=d {a a c c, => a c a c 淘汰}
a b c d = d b a c
   a=d=c
a b c d = c d b a
   a=c=b=d

所以一步变换到自身时可以不是圆的内接四边形。
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发表于 2021-2-28 09:08:36 | 显示全部楼层
现在分析两步变换到自身的必要条件:
a b c d => a b d c => a d b c

a b c d = a d b c
   b=d=c,一步变换到自身
a b c d = a c b d
   b=c,
a b c d = d b c a
   a=d
a b c d = d a c b
   a=d=b, 一步变换到自身
a b c d = b c a d
   a=b=c, 一步变换到自身
a b c d = b d a c
  a=b=d=c, 周期零
a b c d = c a d b
  a=c=b=d, 周期零
a b c d = c b d a
  a=c=d, 一步变换到自身

所以只余下b=c或a=d两种情况需要分析。
查看b=c的情况,
t2.png
第一次变换后得蓝色边,第二次变换后得橙色边。可以看出b=c不必然变换为相等图形。
通过调整两条黑色b边夹角使得这个角等于橙色b边和相邻黑色b边的夹角,得到b=c时两步变换的情况,做图得出这时四边形是圆的内接四边形。(还没有证明)
t2p.png
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发表于 2021-2-28 10:53:58 | 显示全部楼层
t3.png
三次变换复原必然四点共圆的证明
在四边长度都不相同的情况下,如果三次变换复原,如图
可以让每次变换都是长度为a的边被翻转(b,c,d轮换参与)。
那么$DCD_1B$必然组成等腰梯形,并且四点共圆,圆心O.
于是圆心角COD是圆周角CBD的两倍,必然等于叫CID.得出$CDIO$四点公园,同样$IC_1BO$四点共圆。
三次变换复原代表$/_DC_1B_2=/_CBE$,即$/_IC_1J=/_IBJ$,所以$IC_1BJ$四点共圆,即$IC_1BJO$五点共圆。
所以O在三角形$BC_1J$的外接圆上,而且O在$BC_1$中垂线上。
同理可以证明等腰梯形$DE_3EB_2$的外接圆圆心O'在三角形$EB_2J$的外接圆上而且在$EB_2$的中垂线上。
而我们可以证明等腰梯形$EB_2BC_1$的外接圆圆心同时满足上面的条件,得出O和O'是一个点,所以得出
$DCC_1BB_2EE_3$都在一个以O为圆心的圆上。

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发表于 2021-2-28 11:12:59 | 显示全部楼层
貌似任何四边形都是三次恢复的。

点评

6#  发表于 2021-2-28 17:05
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