三个透视三角形

hujunhua · 发表于 2021-5-23 15:23:35

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如图，ΔABC与ΔA'B'C'有透视中心O, 两Δ的公共六边形DEFGHI的三条大对角线DG、EH和FI围成ΔA''B''C''.
求证：ΔA''B''C''亦与ΔABC和ΔA'B'C'有共同的透视中心O。
三个透视三角形.PNG

mathe · 发表于 2021-5-23 16:16:09

这个题目是迪沙格定理和帕斯卡定理和它们的逆定理的应用。
ABC和A'B'C'有透视中心O,于是根据迪沙格定理对应边交点三点共线
于是根据帕斯卡定理E,F,G,H,I,D六点共圆锥曲线。
由于六边形EFIDGH六点共圆锥曲线，根据帕斯卡定理，对边交点即
EF和DG的交点，FI和GH的交点,ID和HE的交点共线
也就是三角形A'B'C'和A''B''C''对应边交点共线，再根据迪沙格定理得出A'B'C'和A''B''C''透视关系

mathe · 发表于 2021-5-23 16:23:16

上面证明A'B'C'和A''B''C''透视并不能说明它的透视中心也是O,如果我们查看六边形EFIHGD六点共圆锥曲线
就能得出EF和GH的交点B', FI和GD的交点B'',IH和DE的交点B三线共点，得出B'B''经过O,同理A'A'',C'C''也经过O

hujunhua · 发表于 2021-5-23 16:58:05

是的，证明并不难，就是重新分组的视点，迪沙格定理就够了。
迪沙格定理：两三角形有透视中心当且仅当有透视轴。
ΔABC和ΔA'B'C'有透视中心O，故有透视轴，记为L。
L显然也是ΔAGH和ΔA'DE的透视轴，故A''是ΔAGH和ΔA'DE的透视中心。
即 A''在直线AA'上。同理，B''在直线BB'上，C''在直线CC'上。

hujunhua · 发表于 2021-5-23 17:20:42

这是16树、每行4棵树的一个基础解（12行），我们坛上有广泛深入的讨论，有更多行的进阶解。
这个构图实际上是高度对称的，每行4树，每树在3行。每一树的地位都完全相同，O点并不比别的点地位更特殊。
仔细辩认就能发现，每个点都是三个三角形的透视中心。

hujunhua · 发表于 2021-5-23 19:34:34

由于在射影几何的意义上地位相等，所以每一点都像 O 一样，对应着一个2# 那样共二次曲线的六点形。
所以这样的二次曲线共计16条。
怎么找一点对应的共二次曲线六点形呢？很简单，就是与它不同行的点。
给定的点在3行上，每行还有其它3点，共是9点，加上自身10点，余下6点就是。

mathe · 发表于 2021-5-23 20:08:55

另外四条直线A'EFB',DA''B''G, BIHA, COC''C' 可以看成一条退化情况的四次曲线，它和另外四条直线A'DIC'，EA''C''H，CFGA，B'B''OB构成的退化四次曲线交于这16个点，它们构成的四次曲线系中每条曲线都会经过这16个点（包括另外一个方向的四条直线构成的退化四次曲线）。

hujunhua · 发表于 2021-5-25 18:47:44

这个构图的自由度很大，再让一些3点共线显然没问题，比如A，B''，E.
拖拖拉拉调来调去，还真凑出来一个，非常非常像了。
三个透视三角形.PNG

hujunhua · 发表于 2021-5-26 19:13:56

嘿嘿，无意插柳柳成行

最大的正三角形边长被分为 1+Ω+1 的3段
次大的正三角形边长被分为 Ω+1+Ω 的3段
Ω是黄金分割比。

mathe · 发表于 2021-5-27 08:31:57

等价于:
https://bbs.emath.ac.cn/forum.ph ... 1677&fromuid=20

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