3^z+4^z=5^z的复数解

mathe

给个-1.7<Re z <1.7, 4.35<Im Z<7.35部分的放大图:

lsr314

mathe 发表于 2021-9-26 07:37
$|sh(a r_k exp(i\theta_t))-a r_k exp(i\theta_t)| \le \sum_{h=1}^{\infty} \frac{|a r_k|^{2h+1}}{(2k+1 ...

分形图就是漂亮！

mathe

还有一个问题是不知道这个猜想是否成立：
解析函数f,g在一个包含凸区域D的开区域中解析，而且在D的边界上总是有$|f-g|\lt |f|$. 那么根据儒歇定理，如果f在D中只有一个一重零点，g在D中也必然只有一个零点。这时从f的这个零点出发，对g采用牛顿迭代法，是否必然收敛到g在D中的零点。

mathe

楼上的猜想不成立。
最简单情况，我们可以先考虑函数$f(z)=z$和$g(z)=az^2+z+c$, 其中在$|a|+|c|<1$时，在边界$|z|=1$上恒有$|f-g|=|az^2+c|\le |a|+|c|\le 1=|f|$
当然从$f(z)$的零点$z=0$出发进行迭代，通常会收敛到$g(z)$的零点。比如选择$a=c=1/3$,从$z=0$出发对$g(z)$进行迭代可以收敛到其单位圆内部零点z=-0.381966.
但是我们可以考虑修改$f(z)=z exp(rz), g(z)=(az^2+z+c) exp(rz)$, 于是在边界$|z|=1$上同样有$|f-g|\lt |f|$. （可以同样选择$a=c=1/3$)
这时，牛顿迭代法变成\(z^* = z-\frac{\frac13z^2+z+c}{\frac r3z^2+(\frac23+r)z+1+\frac r3}\), 经过一次迭代后会得到结果$z_1=-\frac1{r+3}$
由于方程$1/3 z^2+z+1/3=0$包含一个小于-1的根，如果$z_1$是一个绝对值很大的负数，那么后面继续迭代很可能会收敛到那个绝对值大的根而不是单位圆内部的。
为此我们可以选择$r=-2.9$,然后从$z=0$出发，第一次迭代变成-10，然后经过多轮迭代后最终收敛到单位圆外部的根-2.618...而不是内部的根。所以上面的猜测是不成立的。

lsr314

零点的实部在（-1.7854792120，2）间分布是否稠密呢

mathe

稠密的，将每个零点减去对应的sh(az)的零点，得到差值稠密分布在一个非常接近椭圆的图形上，横坐标范围就是这两数之间.
我们记$w_k = z_k-\frac{k\pi i}a$, 那么$w_k$满足\(sh(a w_k)=\frac12exp(b w_k) (-\omega)^k \)，即\((\frac54)^{w_k}-(\frac34)^{w_k}=(-\omega)^k\),而且实部和$z_k$相同。
其中$(-\omega)^k$显然是在单位圆上稠密的，所以只要\(|(\frac54)^{z}-(\frac34)^{z}|=1\) 在原点附近的图像的横坐标覆盖了-1.78...到2之间，就可以证明实部在区间的稠密性。
其图像如下图的绿色曲线，而对应的黑色曲线是经过曲线上指定5个点的椭圆，两者几乎重合。