3^z+4^z=5^z的复数解

wayne

分析方程$3^z+4^z=5^z$复数解的特征，比如
1） 解的实部的取值范围
2） 解的虚部的规律
3）高精度求解算法

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设$z=x+y i$，$\left(\frac{3}{5}\right)^{x+i y}+\left(\frac{4}{5}\right)^{x+i y}=1$，虚实分离,解得$\left(\frac{3}{5}\right)^x=-\frac{\sin \left(y \log \left(\frac{5}{4}\right)\right)}{\sin \left(y \log \left(\frac{4}{3}\right)\right)}>0$, $\left(\frac{4}{5}\right)^x=\frac{\sin \left(y \log \left(\frac{5}{3}\right)\right)}{\sin \left(y \log \left(\frac{4}{3}\right)\right)}>0$ , 继而消除$x$，得到
\[\frac{\log \left(\sin ^2\left(y \log \left(\frac{5}{4}\right)\right)\right)-\log \left(\sin ^2\left(y \log \left(\frac{4}{3}\right)\right)\right)}{\log \left(\frac{3}{5}\right)} = \frac{\log \left(\sin ^2\left(y \log \left(\frac{5}{3}\right)\right)\right)-\log \left(\sin ^2\left(y \log \left(\frac{4}{3}\right)\right)\right)}{\log \left(\frac{4}{5}\right)}\]

n=10^4;test=Solve[(Log[Sin[y Log[5/4]]^2]-Log[Sin[y Log[4/3]]^2])/(2Log[3/5])==(Log[Sin[y Log[5/3]]^2]-Log[Sin[y Log[4/3]]^2])/(2Log[4/5])&&-(Sin[y Log[5/4]]/Sin[y Log[4/3]])>0&&Sin[y Log[5/3]]/Sin[y Log[4/3]]>0&&(y-n)^2< 400,y]

mathe

利用三角形不等式可以得出
$(3/5)^x-(4/5)^x\le 1\le (3/5)^x+(4/5)^x$
得出$-1.7854792120 \le x\le2$

mathe

为了方便讨论，我们可以记$a=log(4/3), b=log(5/4), a+b=log(5/3)$
根据题目约束条件可以分为两种情况
i) $sin(a y)>0, sin(b y)<0, sin((a+b)y)>0$
ii) $sin(a y)<0, sin(b y)>0, sin((a+b)y)<0$
情况i中，存在整数k,m使得$a y = 2k\pi+y_1, b y=2m\pi-y_2, 0<y_2<y_1<\pi, \frac{2k\pi+y_1}{2m\pi-y_2}=\frac a b$
于是给定k,m以后，$y_2$关于$y_1$是递减的，所以边界情况有两种，$y_1=y_2=\frac{(2ma-2kb)\pi}{a+b}<\pi$和$y_1=\pi,y_2=2m\pi-\frac{b(2k+1)\pi}a$,这时要求

\[\frac{2m-1}{2k+1}<\frac b a <\frac{2m}{2k+1}\]

而这时原方程可以改写为$f(y)=b\log(-\sin(b y))-(a+b) \log(\sin((a+b)y))+a\log(\sin(a y))=0$
所以$y_1=y_2$时，$\sin((a+b)y)\to 0, f(y)\to +\infty$, 而$y_1\to \pi $时，$\sin(a y)\to 0, f(y)\to -\infty$, 也就是这个区间必然有一个解。
另外$f'(y)=-b^2 cot(-by)-(a+b)^2 cot((a+b)y)+a^2 cot(ay)=-b^2 cot(y_2)-(a+b)^2 cot(y_1-y_2)+a^2 cot(y_1)$,
即$u=tan(y_2),v=tan(y_1-y_2), tan(y_1)=\frac{u+v}{1-uv}$,于是$f'(y)=-b^2/u-(a+b)^2/v+a^2{1-uv}/{u+v}={-a^2u^2v^2-(b^2+(a+b)^2-a^2)uv-b^2v^2-(a+b)^2u^2}/{(u+v)uv}$
分子显然是负数，所以$f'(y)$的符号和$-uv(u+v)$相同。而极值点只可能在$u\to\infty$或$v\to infty$取到，而u=0,v=0都只能在边界取到，所以$f'(y)$间断点只能在$u+v=0$取到，这时代表$y_1=pi$,也是边界。
所以函数$f(y)$的极值点只能是$u\to\infty$或$v\to\infty$,但是实际上这两种情况的$f'(y)$的极限存在，符号分别和$-v,-u$相同，这说明$f'(y)$一直没有变号，而且由于$y_1<\pi$，说明这是$f'(y)<0$. 也就是函数$f(y)$必然严格递减。这说明这种情况有且只有一个解。
比如，
...
2k+1=-15,b/a*(2k+1)=-11.63...不符合条件
2k+1=-13,b/a*(2k+1)=-10.08...对应m=-5,存在一解
2k+1=-11,b/a*(2k+1)=-8.53...对应m=-4,存在一解
2k+1=-9, b/a*(2k+1)= -6.98...对应m=-3,存在一解
2k+1=-7, b/a*(2k+1)=-5.42...不符合条件
2k+1=-5,b/a*(2k+1)=-3.87...不符合条件
2k+1=-3,b/a*(2k+1)=-2.32...,对应m=-1,存在一解
2k+1=-1, b/a*(2k+1)=-0.77...,对应m=0,存在一解
2k+1=1, b/a*(2k+1)=0.77...不符合条件
2k+1=3, b/a*(2k+1)= 2.32...不符合条件
2k+1=5,b/a*(2k+1)= 3.87...对应m=2,存在一解y=51.22684288672936
2k+1=7, b/a*(2k+1)= 5.42...对应m=3,存在一解y=74.9747427384
2k+1=9, b/a*(2k+1)= 6.98...不符合条件
2k+1=11,b/a*(2k+1)=8.53...不符合条件
2k+1=13,b/a*(2k+1)=10.08...不符合条件
2k+1=15,b/a*(2k+1)=11.63...对应m=6,存在一个解y=161.5614803703
...
情况ii的情况正好对应情况i的解取相反数。而每个2k+1和它的相反数也是有且只有一个有解。平均效果正好是每个奇整数2k+1可以对应一个合法的解。

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设$t=3/5$,那么原题就变成了 $(t^{2})^x = \frac{\sin \left(y \log \left(1-t^2\right)\right)}{\sin \left(y \log \left(1-t^2\right)-y \log \left(t^2\right)\right)}$，$\left(1-t^2\right)^x= \frac{\sin \left(y \log \left(t^2\right)\right)}{\sin \left(y \log \left(t^2\right)-y \log \left(1-t^2\right)\right)}$，这两个表达式刚好是轮换对称的。所以也可以说明分类情况上只需要考虑其中一个式子。

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例子:
? k=3
%13 = 3
? m=3
%14 = 3
? y1s=(2*m*a-2*k*b)*Pi/(a+b)
%15 = 2.3814828518338936078760557381937228935
? ys=(2*k*Pi+y1s)/a
%16 = 73.800353954733267784722734388394177330
? ye=(2*k*Pi+Pi)/a
%17 = 76.442540849724103309224510132188335116
? f(y)=log(-sin(y*b)/sin(y*a))/log(3/5)-log(sin(y*(a+b))/sin(y*a))/log(4/5)
%18 = (y)->log(-sin(y*b)/sin(y*a))/log(3/5)-log(sin(y*(a+b))/sin(y*a))/log(4/5)
? solve(y=ys+0.00001,ye-0.00001,f(y))
%19 = 74.974742738468190837552715691175962227

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关于3#中-1.7854792120是否最佳下界问题，为了逼近这个值，我们需要让$log(3/5)y$接近$\pi$的偶数倍数，而$log(4/5)y$接近$\pi$的奇数倍
对应4#中$y_1,y_2$都趋向$pi$,为此我们可以对a/b做连分数展开，其中分子分母都是奇数的有1/1，9/7，107/83，3673/2849 （这里连分数逼近出现了）
前两项精度不够，跳过，而107/83不符合第一种情况（应该符合第二种情况，但是为了方便，我们采用第一种情况的),所以可以选择3673/2849作为例子:

? k=(3673-1)/2
%28 = 1836
? m=(2849+1)/2
%29 = 1425
? y1s=(2*m*a-2*k*b)*Pi/(a+b)
%30 = 3.141349346316154872489863180412707184909065698737880491297
? ys=(2*k*Pi+y1s)/a
%31 = 40110.49237439753104099680614009223537876531585756157893155
? ye=(2*k*Pi+Pi)/a
%32 = 40110.49322014809020782594653078967926883304579827538535308
? solve(y=ys+1E-20,ye-1E-20,f(y))
%38 = 40110.49276020712778734910752154401895096911889847443870925905599949169091997061928730061400109930891
? y=%38
%41 = 40110.49276020712778734910752154401895096911889847443870925905599949169091997061928730061400109930891
? sin(y*log(5/3))/sin(y*log(4/3))
%42 = 1.489466741763728862696519209878598360518792496469947104317108705300491483335421863324744885159726438
? log(%)/log(4/5)
%43 = -1.785479177501258714368219857938517549195478719893386328124926836268344288039837557519735927246906344
得出一个和下界差值小于1E-6的解

mathe

$f(x)=ln(-sin(ln(5/4)x)/sin(ln(4/3)x))/ln(3/5)-ln(sin(ln(5/3)x)/sin(ln(4/3)x))/ln(4/5)$
单调增的是i类，单调减的是ii类。负坐标轴部分和正坐标轴部分左右对称

mathe

做图后发现4#漏了不少解，这是因为给定k,m后$y_2$关于$y_1$递减，$y_1$的左边界必然是$y_1=y_2$,但是右边界除了$y_1=\pi$以外，另外一种可能是$y_2=0$,这时$y_1={2ma\pi}/b-2k\pi$,得出额外的边界条件${2m}/{2k+1}\lt b/a\lt m/k$, 或者对应 ${2k}/{2m}\lt a/b \lt {2k+1}/{2m}$, 也就是${2ma}/b$的整数部分要求是偶数。
于是
m=1,a/b*2m=2.57..., k=1, 得到y=26.0650859567
m=2,a/b*2m=5.15..., 淘汰
m=3,a/b*2m=7.73...,淘汰
m=4,a/b*2m=10.31..., k=5,得到y=111.531607386088
m=5,a/b*2m=12.89...,k=6,得到y=137.27755925186

于是如果需要估计y在范围(-A,A)内有多少个解，我们可以估计满足i)类的情况，4#的数目大概是${aA}/{2\pi}$, 本楼数目大概为${bA}/{2\pi}$,再加上第一类和第二类数目相同，所以总数约${(a+b)A}/{\pi}$。

wayne

mathe 发表于 2021-9-20 17:35
$f(x)=ln(-sin(ln(5/4)x)/sin(ln(4/3)x))/ln(3/5)-ln(sin(ln(5/3)x)/sin(ln(4/3)x))/ln(4/5)$
单调增的 ...

发现Mathematica画图比mathe的少了几个解，然后加大画图的精度，基本一致了，但又发现在100附近 mathe的图 漏解了，

1. n=180;Plot[Log[-(Sin[y Log[5/4]]/Sin[y Log[4/3]])]/Log[3/5]-Log[Sin[y Log[5/3]]/Sin[y Log[4/3]]]/Log[4/5],{y,0,n},Ticks->{10Range[17],2Range[10]},PlotPoints->1000]

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