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[原创] 一个关于方程的解的猜想

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发表于 2008-4-10 16:34:23 | 显示全部楼层 |阅读模式

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对于任何正整数n,m,其中n>m,而且(m,n)=1.
证明或者否定
方程
$x^m=2-x^{-n}$
正好有m个根的范数严格大于1。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2008-4-10 17:07:34 | 显示全部楼层
能通俗些么?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2008-4-10 17:21:10 | 显示全部楼层
也就是上面的方程转化为多项式方程就是
$x^{m+n}-2x^n+1=0$
我们知道这个m+n次多项式总共有m+n个复数根(包含重根)。
而对于每个复数根,它的范数(也就是绝对值,也就是在复平面上到0的距离)可以大于1也可以小于1,也可以等于1。
显然,1是上面方程的一个根。
而我分析的结果是在m<n时,总是正好有m个根的范数大于1(还没有证明)。当然也比较容易证明正好有一个根的范数为1(也就是1)。所以我们还可以得出正好有n-1个根的范数小于1。

点评

可以试试笛卡尔符号规则,或者求导&数学归纳法  发表于 2019-2-25 22:38
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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 楼主| 发表于 2008-4-10 17:35:40 | 显示全部楼层
写了个程序通过迭代求解这种方程所有范数大于1的解。好像这种模式的都可以通过这种方法求解。
  1. #include <stdio.h>
  2. #include <math.h>

  3. #define ERROR 1.0E-6

  4. int gcd(int m,int n){
  5.     if(m==0)return n;
  6.     return gcd(n%m,m);
  7. }

  8. int m,n;
  9. void gcd_test()
  10. {
  11.     int d=gcd(m,n);
  12.     if(d!=1){
  13.         fprintf(stderr,"Error: gcd of (%d,%d)!=1\n");
  14.         exit(-1);
  15.     }
  16. }
  17. void find_root(int k)
  18. {
  19.     double t0=k*(2.0*M_PI/m);
  20.     double r,r0,x0,y0,x,y;
  21.     r0=pow(2.0,1.0/m);
  22.     x0=r0*cos(t0),y0=r0*sin(t0);
  23.     do{
  24.         double r1=pow(r0,-n);
  25.         double r2,t2;
  26.         x=r1*cos(-n*t0),y=-r1*sin(-n*t0);
  27.         x=2.0-x;
  28.         r2=sqrt(x*x+y*y);
  29.         t2=atan2(y,x)/m;
  30.         r2=pow(r2,1.0/m);
  31.         t2+=k*(2.0*M_PI)/m;
  32.         x=r2*cos(t2),y=r2*sin(t2);
  33.         r=sqrt((x-x0)*(x-x0)+(y-y0)*(y-y0));
  34.         x0=x;y0=y;r0=r2;t0=t2;
  35.     }while(r>ERROR);
  36.     printf("Find root %f+i%f\n",x0,y0);
  37.     fflush(stdout);
  38. }

  39. int main()
  40. {
  41.     int i;
  42.     printf("Please input positive integer m and n while m is less than n && (m,n)=1:");
  43.     scanf("%d %d",&m, &n);
  44.     if(m>=n||m<=0){
  45.         fprintf(stderr,"Invalid input\n");
  46.         return -1;
  47.     }
  48.     gcd_test();
  49.     for(i=0;i<m;i++){
  50.         find_root(i);
  51.     }
  52. }
复制代码
find_root.gz (694 Bytes, 下载次数: 1)
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2008-4-10 17:53:30 | 显示全部楼层
有一点需要说明,这个猜想是我在努力解决随机游走问题时得出来的
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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 楼主| 发表于 2008-4-10 19:29:17 | 显示全部楼层
赫赫,证明了这个命题了,而且还得到了推广。
使用了复变函数中的儒歇定理(留数定理得到的推论),可以证明,对于任意的正整数n>m,和实数r>=2
有方程
$x^m=r-x^{-n}$
正好有m个根的范数大于1。

再次体验到复变函数的强大。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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 楼主| 发表于 2008-4-10 19:54:51 | 显示全部楼层
转叙一下儒歇定理:
如果复变函数f(x)和g(x)在复平面某个有界区域上解析,而且在区域边界上总是有|f(x)|>|g(x)|,
那么在区域内部,f(x)和f(x)+g(x)的零点数目相同。
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发表于 2008-4-11 14:59:38 | 显示全部楼层
学习:)
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发表于 2019-2-25 22:40:27 | 显示全部楼层
mathe 发表于 2008-4-10 19:54
转叙一下儒歇定理:
如果复变函数f(x)和g(x)在复平面某个有界区域上解析,而且在区域边界上总是有|f(x)|>| ...

转述一下笛卡尔符号法则:
如果把一元实系数多项式按降幂方式排列,则多项式的正根的个数要么等于相邻的非零系数的符号的变化次数,要么比它小一个正偶数。而负根的个数则是把所有奇数次项的系数变号以后,所得到的多项式的符号的变化次数,或者比它小一个正偶数。

高中时候看到的
可惜当时没看见这个帖子
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