求极限

wayne · 发表于 2009-10-30 10:51:10

大家都太有才了

wayne · 发表于 2009-10-30 10:53:01

本帖最后由 wayne 于 2009-10-30 10:58 编辑 根据9楼的意思，我用软件算出来： $lim_{n->\oo}n\prod _{m=1}^n (\frac{a}{4m^2}-\frac{1}{m}+1)$ $=\frac {cos\frac {\sqrt {1 - a}\pi} {2} } {\pi}$

mathe · 发表于 2009-10-30 11:17:25

10#方法最主要在于在学过复变函数以后，我们看到无穷乘积 $\prod_{m=1}^{infty}(1-{z^2}/{(m-1/2)^2})$ 就可以知道，这是一个整函数（全平面解析，除了无穷远点没有极点），而且所有零点在半整数，次数为1 由此我们就可以知道这个函数同$cos(\pi z)$的所有零点相同，也就是这个无穷乘积必然形如 $exp(h(z))cos(\pi z)$,其中$h(z)$是一个解析函数。但是这里这个$h(z)$如何计算我忘了，而这里根据查表结果得出是一个常数函数。

wayne · 发表于 2009-10-30 11:31:36

本帖最后由 wayne 于 2009-10-30 11:37 编辑 13# mathe 根据你给的信息，对比一下： h(z)===0 再根据“数学星空”的解法：

数学星空 · 发表于 2009-10-30 11:50:01

呵呵,因为mathe给出的是余弦函数的无穷乘积表达式,而你需要求的是有限乘积,所以结果有差异, 利用公式$Gamma(1/2+n)={(2*n-1)!!}/{2^n}*sqrt(pi)$ $Gamma(1/2-n)={(-1)^n*2^n}/{(2*n-1)!!}*sqrt(pi)$ $Gamma(n)*Gamma(1-n)=pi/{sin(pi*n) } $ $Gamma(1/2)=sqrt(pi)$ 可以对表达式进行化简

〇〇 · 发表于 2009-10-30 13:58:10

请问6楼的r代表什么，是r分布函数?

数学星空 · 发表于 2009-10-30 14:09:36

$Gamma(s)=int_0^inftyx^(s-1)*e^(-x)dx" where "(s>0)$

数学星空 · 发表于 2009-10-30 14:11:42

通常也称为欧拉积分或者欧拉函数

wayne · 发表于 2009-10-30 14:48:48

15# 数学星空 怪我没说清楚我根据你的思路给出了有限乘积的表达式，只是为了说明无穷乘积的表达式的那个h(z)=0

wayne · 发表于 2009-10-30 14:54:58

本帖最后由 wayne 于 2009-10-30 14:58 编辑 16# 〇〇 那r不是r，是希腊字母$\Gamma$ 我们可以理解为是阶乘的一种实数范围的推广形式，将17楼的欧拉积分归一化后，就是gamma分布了

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