已知四面体四面的面积，求体积的最大最小值

hejoseph

这个问题是下面链接问题里的延续
https://bbs.emath.ac.cn/thread-19151-1-1.html
若已知四面体的四个面积，求体积的最大最小值

mathe

给定六条棱长度，四面体体积公式可以用行列式表示:
https://bbs.emath.ac.cn/thread-17215-1-1.html
而四个面的面积可以通过海伦公式表示
所以问题就变成6个变量的多项式表达式在四个约束条件下的极值问题，可以采用拉格朗日法求极值

hejoseph

可能对一般情形来说没简单的结论。但对于四个面积相等的情形是相对容易的，此时必定对棱相等，没最小值，但可以趋近0，最大值是正四面体的时候。

creasson

记\( DA = a, DB = b, DC = c \),  \({\theta _a}, {\theta _b}, {\theta _c}\)分别表示$DB$与$DC$、$DC$与$DA$、$DA$与$DB$之间的夹角， 则
\[{S_A} = \frac{1}{2}bc\sin {\theta _a}, \quad {S_B} = \frac{1}{2}ca\sin {\theta _b}, \quad {S_C} = \frac{1}{2}ab\sin {\theta _c}\]
又令\[k = \sqrt {1 - {{\cos }^2}{\theta _a} - {{\cos }^2}{\theta _b} - {{\cos }^2}{\theta _c} + 2\cos {\theta _a}\cos {\theta _b}\cos {\theta _c}} \], 有
\[V = \frac{1}{6}abck\]
以上联立， 可解出
\[a = \frac{{3V\sin {\theta _a}}}{{k{S_A}}}, \quad b = \frac{{3V\sin {\theta _b}}}{{k{S_B}}}, \quad c = \frac{{3V\sin {\theta _c}}}{{k{S_C}}}\]
代回$V$的表示， 又有
\[9{V^2} = \frac{{2{k^2}{S_A}{S_B}{S_C}}}{{\sin {\theta _a}\sin {\theta _b}\sin {\theta _c}}}\]

三角形$ABC$ 的各边边长平方为：
\[\begin{array}{l}
A{B^2} = {a^2} + {b^2} - 2ab\cos {\theta _c} = \frac{{9{V^2}}}{{{k^2}}}\left( {\frac{{{{\sin }^2}{\theta _a}}}{{{S_A}^2}} + \frac{{{{\sin }^2}{\theta _b}}}{{{S_B}^2}} - 2\frac{{\sin {\theta _a}\sin {\theta _b}}}{{{S_A}{S_B}}}\cos {\theta _c}} \right) \\
B{C^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos {\theta _a} = \frac{{9{V^2}}}{{{k^2}}}\left( {\frac{{{{\sin }^2}{\theta _b}}}{{{S_B}^2}} + \frac{{{{\sin }^2}{\theta _c}}}{{{S_C}^2}} - 2\frac{{\sin {\theta _b}\sin {\theta _c}}}{{{S_B}{S_C}}}\cos {\theta _a}} \right) \\
C{A^2} = {c^2} + {a^2} - 2ca\cos {\theta _b} = \frac{{9{V^2}}}{{{k^2}}}\left( {\frac{{{{\sin }^2}{\theta _c}}}{{{S_C}^2}} + \frac{{{{\sin }^2}{\theta _a}}}{{{S_A}^2}} - 2\frac{{\sin {\theta _c}\sin {\theta _a}}}{{{S_C}{S_A}}}\cos {\theta _b}} \right) \\
\end{array}\]
由海伦公式
\[{S_D}^2 = \frac{1}{{16}}\left( {4A{B^2}B{C^2} - \left( {A{B^2} + B{C^2} - C{A^2}} \right)} \right) \]
将得到$V$关于\({\theta _a}, {\theta _b}, {\theta _c}\)的另一等式.  与前面的式子联合消元$V$得到约束条件
\[{S_D}^2 = S_A^2 + S_B^2 + S_C^2 + 2\frac{{\cos {\theta _a}\cos {\theta _b} - \cos {\theta _c}}}{{\sin {\theta _a}\sin {\theta _b}}}{S_A}{S_B} + 2\frac{{\cos {\theta _b}\cos {\theta _c} - \cos {\theta _a}}}{{\sin {\theta _b}\sin {\theta _c}}}{S_B}{S_C} + 2\frac{{\cos {\theta _c}\cos {\theta _a} - \cos {\theta _b}}}{{\sin {\theta _c}\sin {\theta _a}}}{S_C}{S_A}\]
即求解目标为，在此约束条件下，求下式的极值:
\[9{V^2} = \frac{{2(1 - {{\cos }^2}{\theta _a} - {{\cos }^2}{\theta _b} - {{\cos }^2}{\theta _c} + 2\cos {\theta _a}\cos {\theta _b}\cos {\theta _c}){S_A}{S_B}{S_C}}}{{\sin {\theta _a}\sin {\theta _b}\sin {\theta _c}}}\]

creasson

若记 $a, b, c, d$ 为四面面积, 考虑半正切代换，则四面体体积$V$的最值可转化为如下纯代数问题 :  
\[{V^2} =  - \frac{{abc( - x - y - z + xyz)(x + y - z + xyz)(x - y + z + xyz)( - x + y + z + xyz)}}{{9x(1 + {x^2})y(1 + {y^2})z(1 + {z^2})}}\]
约束条件：  
\[ -a c y^3 z^4 x^4-a b y^4 z^3 x^4-a b y^2 z^3 x^4-a c y^3 z^2 x^4+a c y z^2 x^4+a c y x^4+a b y^2 z x^4+a b z x^4-b c y^4 z^4 x^3-b c y^2 z^4 x^3-a^2 y^3 z^3 x^3-b^2 y^3 z^3 x^3-c^2 y^3 z^3 x^3+d^2 y^3 z^3 x^3-a^2 y z^3 x^3-b^2 y z^3 x^3-c^2 y z^3 x^3+d^2 y z^3 x^3-b c y^2 x^3-b c y^4 z^2 x^3-2 b c y^2 z^2 x^3-b c z^2 x^3-b c x^3-a^2 y^3 z x^3-b^2 y^3 z x^3-c^2 y^3 z x^3+d^2 y^3 z x^3-a^2 y z x^3-b^2 y z x^3-c^2 y z x^3+d^2 y z x^3-a c y^3 z^4 x^2+a c y z^4 x^2-a c y^3 x^2-a b y^4 z^3 x^2-2 a b y^2 z^3 x^2-a b z^3 x^2-2 a c y^3 z^2 x^2+2 a c y z^2 x^2+a c y x^2+a b y^4 z x^2+2 a b y^2 z x^2+a b z x^2+b c y^4 x+b c y^2 z^4 x+b c z^4 x-a^2 y^3 z^3 x-b^2 y^3 z^3 x-c^2 y^3 z^3 x+d^2 y^3 z^3 x-a^2 y z^3 x-b^2 y z^3 x-c^2 y z^3 x+d^2 y z^3 x+b c y^2 x+b c y^4 z^2 x+2 b c y^2 z^2 x+b c z^2 x-a^2 y^3 z x-b^2 y^3 z x-c^2 y^3 z x+d^2 y^3 z x-a^2 y z x-b^2 y z x-c^2 y z x+d^2 y z x+a c y z^4-a c y^3-a b y^2 z^3-a b z^3-a c y^3 z^2+a c y z^2+a b y^4 z+a b y^2 z = 0 \]
其中 $x, y, z \gt 0$

hejoseph

最小值直觉是可以趋近0的，即四面体的四个顶点趋向某个凸四边形的四个顶点的情形，目前还未证明。