找回密码
 欢迎注册
查看: 111|回复: 5

[转载] 小系数数论多项式的个数问题

[复制链接]
发表于 7 天前 | 显示全部楼层 |阅读模式

马上注册,结交更多好友,享用更多功能,让你轻松玩转社区。

您需要 登录 才可以下载或查看,没有账号?欢迎注册

×
最高项次数为$n$的多项式,其系数在$[0,1)$内取值,且当定义域为整数时,值域也为整数。这样的多项式个数记为$g(n)$,试求$g(n)$。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 6 天前 | 显示全部楼层
计算了一下,1次没有,2次只有1个,所以对应序列为
0,1,10,276,34272,24848640
根据这几项的值,可以猜测
设\(a_n=\prod_{k=1}^n k!\), 那么结果为\(a_n-a_{n-1}\)

点评

有了结果以后发现,证明不难  发表于 6 天前
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 6 天前 | 显示全部楼层
mathe 发表于 2024-11-1 09:42
计算了一下,1次没有,2次只有1个,所以对应序列为
0,1,10,276,34272,24848640
根据这几项的值,可以猜测

怎么证明?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 5 天前 | 显示全部楼层
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 4 天前 来自手机 | 显示全部楼层
这个没任何难度呀,都不用打草稿直接口算就行。

一直差分,n次项直到次数为常数,主要系数n!*cn是整数,所以cn有n!个取值。

不高于n次的多项式个数就是g(n)=∏(k,1,n)k!,n次多项式也就是cn不能等于0,f(n)= g(n)-sum(k,0,n-1)g(n)。

所以有f(0)=1,f(1)=0,f(2)=1,f(3)=10。


毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
您需要登录后才可以回帖 登录 | 欢迎注册

本版积分规则

小黑屋|手机版|数学研发网 ( 苏ICP备07505100号 )

GMT+8, 2024-11-7 09:32 , Processed in 0.030884 second(s), 21 queries .

Powered by Discuz! X3.5

© 2001-2024 Discuz! Team.

快速回复 返回顶部 返回列表