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[转载] 小系数数论多项式的个数问题

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发表于 2024-10-31 21:05:14 | 显示全部楼层 |阅读模式

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最高项次数为$n$的多项式,其系数在$[0,1)$内取值,且当定义域为整数时,值域也为整数。这样的多项式个数记为$g(n)$,试求$g(n)$。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2024-11-1 09:42:05 | 显示全部楼层
计算了一下,1次没有,2次只有1个,所以对应序列为
0,1,10,276,34272,24848640
根据这几项的值,可以猜测
设\(a_n=\prod_{k=1}^n k!\), 那么结果为\(a_n-a_{n-1}\)

点评

有了结果以后发现,证明不难  发表于 2024-11-1 09:49
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2024-11-1 16:22:06 | 显示全部楼层
mathe 发表于 2024-11-1 09:42
计算了一下,1次没有,2次只有1个,所以对应序列为
0,1,10,276,34272,24848640
根据这几项的值,可以猜测

怎么证明?
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发表于 2024-11-2 18:33:37 | 显示全部楼层
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毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2024-11-3 07:18:07 来自手机 | 显示全部楼层
这个没任何难度呀,都不用打草稿直接口算就行。

一直差分,n次项直到次数为常数,主要系数n!*cn是整数,所以cn有n!个取值。

不高于n次的多项式个数就是g(n)=∏(k,1,n)k!,n次多项式也就是cn不能等于0,f(n)= g(n)-sum(k,0,n-1)g(n)。

所以有f(0)=1,f(1)=0,f(2)=1,f(3)=10。


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