小系数数论多项式的个数问题

pizza49

最高项次数为$n$的多项式，其系数在$[0,1)$内取值，且当定义域为整数时，值域也为整数。这样的多项式个数记为$g(n)$，试求$g(n)$。

mathe

计算了一下，1次没有，2次只有1个，所以对应序列为
0,1,10,276,34272,24848640
根据这几项的值，可以猜测
设\(a_n=\prod_{k=1}^n k!\), 那么结果为\(a_n-a_{n-1}\)

pizza49

mathe 发表于 2024-11-1 09:42
计算了一下，1次没有，2次只有1个，所以对应序列为
0,1,10,276,34272,24848640
根据这几项的值，可以猜测

怎么证明？

hujunhua

想起一个老帖：数论多项式恒取整值必有组合解释

yuange1975

这个没任何难度呀，都不用打草稿直接口算就行。

一直差分，n次项直到次数为常数，主要系数n!*cn是整数，所以cn有n!个取值。

不高于n次的多项式个数就是g(n)=∏(k,1,n)k!，n次多项式也就是cn不能等于0，f(n)= g(n)-sum(k,0,n-1)g(n)。

所以有f(0)=1，f(1)=0，f(2)=1，f(3)=10。