数学高手、大师注意了，挑战你的智力：求一个吃桃总数的公式

gxqcn

我用初等的方法推导一下：桃子分桃肉与桃胡（桃仁），人们通常说吃几个桃，一般是单指吃了几个桃子的桃肉。即有： 1[桃子] = 1[桃肉] + 1[桃胡] -----------① 依题意，还可得如下价值等式： 1[毛钱] = 1[桃子] -----------------------② 3[桃胡] = 1[桃子] -----------------------③ 将 ①③ 联立，消去[桃胡]，得 1[桃肉]=2/3[桃子] ， 再代入 ②，得 1[毛钱] = 3/2[桃肉]=3/2[桃] 极限情况是满足上述等式的， 对于有限之情况，往往无法同时提供最后“3[桃胡]”，除非允许赊或借，所以实际情况会因此偏低1点：$f[n]=|__(3n-1)/2__|$

wayne

9# wkwable 对于 r 个桃胡 兑换成 p 个桃子 这种一般情况，可以类此推理，： =============================================== 在这里，我们换种方式表达，对于给定的n,r,p, n>r>p, 我们产生一个有限项数列${x_n}$ ： $x_0=n$, 如果$x_n>= r$，$x_n=\sum_{k=0}^K a_k*r^k $ 则$x_{n+1}=\sum_{k=0}^K a_k*p^k$ ，直至$x_{N}

wkwable

wayne ,你超级厉害呀，学习了。

mathe

其实，六楼的式子可以改写为下面的形式： Sn=(6n-3)/4 - (-1)^n/4 n=1,2,..... 即把cosnπ变为(-1)^n，一样能达到目的。 不过，要是把题目再抽象一下，提高应用的范围时，又该如何做呢？ 改写后 ... 一毛钱买一个桃子，m个桃胡换p个桃，n毛钱能得几个桃？ wkwable 发表于 2010-11-27 17:25

其实我们改为考虑n毛钱最后余几个桃胡会简单很多 假设n毛钱与g(n)个桃胡。那么对于$n<=p-1,g(n)=n$ 现在用归纳法证明，对于$n>=p,p<=g(n)<=m-1$，而且 $g(n+1)={(g(n)+1, if" "g(n)=m$,我们可以得出$g(n)=g(n-m+p)$,这是一个周期为m-p的线性递推函数。

mathe

而21#的方法给出了桃胡的价格的折算，于是为了计算吃掉桃子的数目，我们只要将总价格扣除$g(n)$个桃胡的价格再除以桃肉的单价即可

wayne

23# wkwable 我们的gxqcn 在 21楼给出的方法更加精彩，推广一下，表达式就是： $f(n) = n+p*|__n/{r-p}__|$

mathe

r个胡换p个桃子，那么桃肉单价为$1-p/r$,桃胡单价为$p/r$ 所以$n=f(n)(1-p/r)+g(n)p/r$ 即$nr=f(n)(r-p)+g(n)p$ 对于$n>=p$,即$f(n)={nr-p^2-p*((n-p)(mod r-p))}/{r-p}=n+p*|__{n-p}/{r-p}__|$

wkwable

mathe：“其实我们改为考虑n毛钱最后余几个桃胡会简单很多” mathe总能抓住关键之处，佩服！ 楼上各位回答得都太精彩了，眼都看花了。谢谢！

wayne

27# mathe 恩，mathe给的是不许赊欠的答案。 这个好解释，为了避免出现 最后剩下的桃胡的个数小于r，却大于等于r-p，即可以折算出一个桃肉却不能赊欠的尴尬局面 这种情况，买方可以在兑换之前扣留p个桃胡作为backup，备份，这p个备份桃胡只能在最后紧要关头才能拿出来用。。。，于是 答案就是 $f(n)=n+p|__{n-p}/{r-p}__|$ 允许赊欠的话，答案就是 $f(n)=n+p|__n/{r-p}__|$ ================================================== 22楼是计算允许赊欠的，绕了很大的一个弯子，不过，还好，答案是一致的： $f(n) = {r*n-p*x_N}/{r-p}+p*\Delta$可以转化成$f(n) = {r*n-p*x_N(mod(r-p))}/{r-p}$ 又因为 $x_N(mod(r-p))$其实就是$n(mod(r-p))$ 所以，继续化简，就是$f(n) = {r*n-p*n(mod(r-p))}/{r-p}$ 再继续化简，就是$f(n)=n+p|__n/{r-p}__|$了

wayne

对于给定的n,r,p, n>r>p, r,p互质，我们产生一个有限项数列${x_n}$ ： $x_0=n$, 如果$x_n>= r$，$x_n=\sum_{k=0}^K a_k*r^k $ 则$x_{n+1}=\sum_{k=0}^K a_k*p^k$ ，直至$x_{N}

这个$x_N$ 就是n-p除以r-p所得的余数加上 p ，即：$x_N=p+ (n-p)(mod(r-p))$ 因为，n>r,所以，最终$x_N>=p$, 因为$x_N