求最小正整数 k，使得 5^k 起始9位数为12！=479001600

northwolves

A386547

NAME
a(n) is the least integer k such that 5^k begins with n!.

DATA
0, 0, 2, 4, 12, 116, 2080, 6017, 149704, 2436360, 10819405, 19295517

OFFSET
0,3

FORMULA
a(n) = A018862(n!).

EXAMPLE
a(4) = 12 because 5^12 = 244140625 is the smallest power of 5 beginning with 4! = 24.

MATHEMATICA
a[n_] := Module[{target = IntegerDigits[n!], k = 0}, While[UnsameQ[Take[IntegerDigits[5^k], Length@target], target], k++]; k];

Table[a[n], {n, 0, 8}]

CROSSREFS
Cf. A000142, A018862, A374922, A374923.

northwolves

原来是计算精度的问题，a(12) = 1664457026

mathe

这个需要借用以前分析\(2^k\)和\(5^k\)中前n位相同相同的方案
https://zhuanlan.zhihu.com/p/634499178
我们的目标时寻找k使得\(5^k\)的前h位和n!相同，其中h是n!的位数，于是我们要求寻找k使得存在整数m使得
\(\lg(n!)-h+1\le \{k\lg(5)\}\lt\lg(n!+1)-h+1\)
我们记\(a=\lg(n!)-h+1,b=\lg(n!+1)-h+1\),其中a,b是两个非常接近的(0,1)上的数， 并且记\(c=\frac{a+b}2, e=\frac{b-a}2\), c为区间中心，e很小，是区间长度一半。
假设我们现在已经找到某个\(k_1\)使得\(k_1\lg(5)\)再区间\((a,b)\)附近比较接近的地方，但是还没有落在区间中间，也就是\(h=|{k_1\lg(5)}-c|\)不大，但是大于e,
于是我们后面搜索的目标就是需要找到下一个更好的k_2,使得\(|{k_2\lg(5)}-c|<h\), 所以必然要求\(-2h<{(k_2-k_1)\log(5)}<2h\)
也就是要求找到整数m, k使得\(-2h<m-k \lg(5) < 2h\).
利用链接中知识，我们知道需要寻找和\(\lg(5)\)的连分数前s位相同，然后第s+1位不同的分数\(\frac{m}k\)使得\(|2h(q_s+q_{s-1}x^*)|\lt x^*\)

nyy

mathe 发表于 2025-8-21 08:44
这个需要借用以前分析\(2^k\)和\(5^k\)中前n位相同相同的方案
https://zhuanlan.zhihu.com/p/634499178
我 ...

老师们看答案的！
没看到答案！
你要先看到答案，再看过程