求最小正整数 k，使得 5^k 起始9位数为12！=479001600

northwolves

mathe版主太强悍了：
{11, 78697156}
{12,747607554}
{13,10952402703}
{14,254230157940}
{15,4409739261144}
{16,38129989457749}
{17,73425462387019}
{18,18553374137359214}
{19,27036908878375100}
{20,1053338431686717460}
{21,54689167234912149096}
{22,678416028962620804329}
{23,67506358514042349427267}
{24,269813938614269935089647}
{25,15692675077152583530475263}
{26,3249409848323679470950820601}
{27,152415296418180704590430039377}
{28,235416761121826259799659838990}
{29,16535663182019102188442276887157}
{30,810415231911788111377651219003976}
{31,10544557460581936579558067276668148}
{32,1197782629592123463783543449092817865}
{33,18756484661617397618163820501601543428}
{34,89727081800693450682690722049041240223}
{35,13842247250774412463650168103284702138299}
{36,58305768765108830229979905124396088982863}
{37,13010173991967318000851078625487819595258380}
{38,9659062885516827969937487886077131465422305069}
{39,15054848214571617105833381916518378481787995783}
{40,1158929801156829098826415013935506368282793479672}
{41,46680665028336473122794711203577760045422869880728}
{42,428450420952612691302699206399514331551965361296822}
{43,228010103531151113248827308211447234315826669962186828}
{44,45234495639786238063187267140199631500663927967879712437}
{45,646740189533060291702801528139243894847875357816058997650}
{46,19015415804437843305867658935309600433890503601262889759261}
{47,33422371743681587412749482033742910252608665006480874508300}
{48,33237148285958821037561271177217332979896721700610298546987688}
{49,1412494610889451120919806012623681553193221464068972443527934655}
{50,80562251000261012604148370478020158097737482266504413125871305785477}
{51,8316780037842175600234523451786889438567227010714322212855780356115}
{52,155964911263133157637137979149875176994986402940459385932841101487055}
{53,13344506740235091360273132806965606676593848451639730216043096924091894}
{54,507501516891355932039470966612309086886891655066651802016351591301876226}
{55,829505215818588757376410693133323995247702101094033822273157533292325145}
{56,17058079828557489931555040813264540394465634797728599860182232068487403550}
{57,80719457604921524009988961803860466682182949957616213614435033146834095236922}
{58,1620423970743904233684281535989872457511803524178693023831740433693487478356525}
{59,790656517715501180026452512104230906258466754438916308310132008264274278402651447}
{60,2053382547892756640072376274936319934188094570899939324543916890822572959549117540}
{61,454712188102005362913768948863773795257591198769931632677998362555208684029675585672}
{62,89684721421729548209378290075654166111066487963339135784237095092676711830261234092214}
{63,1842333867688406429630236556410195965167208537078613182121803154543461074731074353265539}
{64,3698998920486588965447648659437035457737781980566695209302158701191665295382017351357442451}
{65,26786490141009392529408913298139092882473213394731139076983364292652040008912982197298050119}
{66,364348349710870445494266433872891195272125273801560636899335484763755288630324712562440966336}
{67,34876150923167290627997215892354616927502206911658943882784261492119241482423222556858281372825}
{68,8177167019615424474174846289797656470864911557214322760485196546038226348105046739833873969862902}
{69,76142949228580773786708896761842720022186025571326223371542117834678595658447445261537318896863753}
{70,6669579395601370594230946535193423451695408204756182298532486180991933024051223486062484970734426483}
{71,97307084409935119513341720658090288924567279732955995476528343446395462135068001185584766855865905216}
{72,85795397820804232180406244045489066528971342562442540897439579460058075357132942948577831558654407747308}
{73,1534827448069194645744935085259273284872197398552496680917141239826408104753546988761698172199427929855298}
{74,290333764030664789648174521028175317130044732428316246888223988651678872352752967485024998621128196194608565}
{75,14383265390392692697946816044017697750951043185905201697457091491156801544221689543022499855252615881088055379}
{76,1063387197926080464365645728829601882581575529944361257548354305088044899278465455383337187113934418173947812132}
{77,102217301410252548619240381183027514289969740594944652397840491591115310717385769765172709989209145530105868993052}
{78,51526815168980908338128634668314226707663061447461947695317362863944347495993272306906697433607554099225573241144696}
{79,4263170093814046646138787094959110692696932801238221142576084386624659329758423436381081151758025207948392767456252707}
{80,53158015636995510655041794074559467715106176074301814835723585023653067112350755406262093262634484015264563426820479217}
{81,13475414036201321766031716319092329897589788870277065438609742267322971900833008212255640015299828408342528473855643648674}
{82,421875949760975312110047264468489215189333769238237114799215957545999552366493915149594430002819896662812822137059767535962}
{83,201728337159743908613391627755460006362785521437998801659754794726779289901363419233132243176866023999204100278487163177975017}
{84,9265505762715712253430434392413228886582266385278953008378669404970973114411182858587789927328720234915587049519124550065831413}
{85,851333306961305541792414417396775519342672270601136455519798923210672215154989265713520059630618895952640449598480199939883227916}
{86,37480588935968249505170895134433537774659904367625418007768338670213811403762226148927459947730485330599275627407906656551558961099}
{87,5160670222097556575214254335380493148109322795633001100569705305673537737880642985618585759371056809609711229006843936934282811628533}
{88,146442144137385049139290463840239205212705430787295176101245565850888586910739392047440270121463902586431365376146110185391136226623934}
{89,858160146819463388519219841908688224723805153984517559064219679219077262182728270752375965626290790002808110815398783118835151960416806331}
{90,2446479012525697123797681212294816733692164788029168279365970301139379950894392387266651076530176485351387830646021216173714444387227739277}
{91,180595203651652609810247529683785115473213217557814220077528408157285984939750934356168764040353126256793135735197903241847903454677665997022}
{92,4290679588651805107778719168798870697711044201192152429750891594751377907292597504747518360198014591727538139460528449495155275178428975287877}
{93,15057595352828639455681187382573543333955859149378077938851771721097624455016860598945425334759735643655649856981156062941592002067507750354835725}
{94,127952473656186906277693681889057556598174764880506308501268014127273227742286325959848846512370420497037576871317249673564516813596617625423072215}
{95,1902579376329245315922706197715694679605956653425771641530820118856305012857692211594425724002948193889920466306221546586558372716832824732180535114}
{96,2200922959152973184454944936397401507109501687060049982436201258312054188100808902724557290532507971086760567503228927990278988876394955946074579138434}
{97,11431966017531767602639222518153005237750758350857635546940101770167466199082451299366680397364326025021945588047789555614602381886948270275531567141577517}
{98,12466380040558566358237689552737671550839855021965336156651441357082309272226573498875591083495225030053972347643657863860654699418524454493126534413007074}
{99,1031852675860545794050710812760298993279537259860731178980175085316445235076594570190097397618337793918772289761639736648470062618683203745433535049236117073}

northwolves

如此11,13,17,19的计算已没必要，我申请删除了

northwolves

1. t={0,1,8,92,116,88277,588458,58481,260426,-1,78697156,747607554,10952402703,254230157940,4409739261144,38129989457749,73425462387019,18553374137359214,27036908878375100,1053338431686717460,54689167234912149096,678416028962620804329,67506358514042349427267,269813938614269935089647,15692675077152583530475263,3249409848323679470950820601,134535058864917802155619756354};Length@t
   
2. Table[{r,t[[r]],r!,Floor[10^(IntegerLength[r!]-1+Mod[N[t[[r]]*Log10[r],500],1])],(r!)==Floor[10^(IntegerLength[r!]-1+Mod[N[t[[r]]*Log10[r],500],1])]},{r,Length@t}]//Grid

复制代码

27
1        0        1        1        True
2        1        2        2        True
3        8        6        6        True
4        92        24        24        True
5        116        120        120        True
6        88277        720        720        True
7        588458        5040        5040        True
8        58481        40320        40320        True
9        260426        362880        362880        True
10        -1        3628800        999999        False
11        78697156        39916800        39916800        True
12        747607554        479001600        479001600        True
13        10952402703        6227020800        6227020800        True
14        254230157940        87178291200        87178291200        True
15        4409739261144        1307674368000        1307674368000        True
16        38129989457749        20922789888000        20922789888000        True
17        73425462387019        355687428096000        355687428096000        True
18        18553374137359214        6402373705728000        6402373705728000        True
19        27036908878375100        121645100408832000        121645100408832000        True
20        1053338431686717460        2432902008176640000        2432902008176640000        True
21        54689167234912149096        51090942171709440000        51090942171709440000        True
22        678416028962620804329        1124000727777607680000        1124000727777607680000        True
23        67506358514042349427267        25852016738884976640000        25852016738884976640000        True
24        269813938614269935089647        620448401733239439360000        620448401733239439360000        True
25        15692675077152583530475263        15511210043330985984000000        15511210043330985984000000        True
26        3249409848323679470950820601        403291461126605635584000000        403291461126605635584000000        True
27        134535058864917802155619756354        10888869450418352160768000000        10888869450418352160768000000        True

mathe

上面northwolves帮忙找到了一个bug了，代码位置在:

       t2=if(d>0, findk2(U,M,2*d,-1), findk2(U,M,-2*d,1));
      if(t2==0, print("Out of precision");pass=-1;break());
     dt=if(d>0, M-(t2*U)%M, (t2*(U+1))%M);
      dt2=if(d>0, floor(d/dt),floor(-d/dt));
      if(dt2==0,dt2=1);
      t=t+dt2*t2;
实际计算过程
M=10^500, t=1426623746182861807587649405 ，findk2函数返回t2=1986693061473655826090031447
于是计算得到dt2=floor(d/dt)为76.
这部分的内容表明，前一步找到t以后，((t*U)%M)/M 同我们目标值中心C/M的差距大约为d/M，而这时findk2函数得出，每次将t增加t2, 这个差值可以缩写一个不超过dt/M的值，
由此，为了加快速度，我这里直接连续增加dt2=floor(d/dt)个t2, 可以得到一个结果，离中心值的差距减少到尽量小，得到一个很好的逼近值。
但是问题是我们并不需要得到最好的逼近值，而是只要进入区域(V,R)即可，所以这里就有可能需要减去一个较小的值即可。