求简谐下滑曲线的方程

hujunhua

设 $y=a_1x^2+a_2x^4+a_3x^6+...+a_rx^{2r}+...$
验算
`y(1)≈a_1+a_2+...+a_{10}≈0.247524,\\ y'(1)=2a_1+4a_2+...+20a_{10}≈0.656957`
收敛好慢，是不是算错了。

Jack315

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hujunhua

简谐下滑曲线的数值解是这样的，它以x=±1为渐近线。
左图是局部，右图是下伸更深的图。
轨道解有3支，蓝色的像一段圆弧的容易理解，它也是实际可用于盘子母线的部分。
绿色和橙色的关于 y 轴对称，两者交点是曲线的一个奇点（二重点），曲线在此附近近似于蓝色虚线所示的两条抛物线。
这意味着滑块经过此二重点时呈自由抛落状态，轨道支撑力为零。继续下滑，若滑块还在轨道上方，将在离心力作用下甩脱。
为了保持在轨道上，向下经过二重点后，滑块进入轨道下方，被轨道压住以免甩脱。这是单程运动，永坠深渊，无路返回。（又断头了？）


它与竖直线（x=常数）一般有3个交点，与水平线（y=常数）有4个交点（在x轴以下有两个虚交点），故可以考虑用一条7次曲线来近似：\[
(a_1x^4+2b_1x^2+c_1)y^3+3(a_2x^4+2b_2x^2+c_2)y^2+3(a_3x^4+2b_3x^2+c_3)y+a_4x^4+2b_4x^2=0
\]可以取`a_1=1`，或者其它某个系数为非零常数。

hujunhua

282842712474 发表于 2025-12-26 19:30
贴一个Kimi的解（还没仔细审查）：https://www.kimi.com/share/19b5a6c0-c212-8a89-8000-0000d51fa099

...

从5#打开kimi网页版，开新会话，求解上述7次曲线，结果kimi说还有一条过原点的分支。因为从微分方程可求得\[
y''(0,0)=-1\pm\sqrt2
\]其中`y''(0,0)=-1-\sqrt2` 是被我舍去了的，因为与我们想要的盘子母线不匹配，没想到因此丢掉了这个第4分支。
第4分支的数值解见下图中的红线曲线，它比两条交叉分支更快地趋向渐近线 `x=±1`。
它在抛物线`y=-x^2`的下方，所以滑块在曲线下方，轨道是压着滑块防它甩脱的。


这就对了，楼上的疑惑“又断头了？”得到了澄清，终于闭合了，无路可回的问题得到了解决。
不过这样一来，它与`-1<x<1`之间的竖直线就一般有4个交点了，所以 近似曲线`F(x, y)`应包含 `(a_0 x^4+b_0 x^2+c_0)y^4`项，是一条8次曲线了。
\[(a_0 x^4+b_0 x^2+c_0)y^4+4(a_1x^4+2b_1x^2+c_1)y^3+6(a_2x^4+2b_2x^2+c_2)y^2+4(a_3x^4+2b_3x^2+c_3)y+(a_4x^4+2b_4x^2)=0\]

hujunhua

试着解了一下，发现8次曲线还不够。原点是个双二重点，加上两边各有零点（橙色分支和浅绿色分支与x轴的交点），整个曲线与x轴是6个交点。其它异于x轴的水平线可视为与曲线一般有4个实交点，2个复交点，所以需要x^6. 近似解曲线是一个10次代数曲线。
\[
(a_0 x^6+3 b_0 x^4+3 c_0 x^2+d_0)y^4+4(a_1 x^6+3 b_1 x^2+3 c_1 x^2 + d_1)y^3+6(a_2 x^6+3 b_2 x^4 + 3 c_2 x^2 + d_2 )y^2+4(a_3 x^6+3 b_3 x^4 + 3 c_3 x^2) y + (a_4 x^6+3 b_4 x^4) = 0
\]