求简谐下滑曲线的方程

hujunhua

这个曲线最叫人不能忍的是其有限非闭合。
显然，从这条曲线用水平线往下截得的部分也是问题的解（符合简谐运动），但它无法往上往左右延长。
从代数上看，往左右延长会出现虚数。
从物理上看，曲线切线倾角=45°处具有最大水平加速度，自是最大振幅处，所以不能向外延长。

有限非闭合的原因找到了，是我们在上楼解二次方程中舍去一根造成的。舍去的根对应的解是\[
y=1+\sqrt{1-x^2}+\ln\frac{1-\sqrt{1-x^2}}2
\]曲线图如下（绿色部分），图中是局部，它以 y 轴为渐近线。


发现10楼的参数方程完整地包含图中的红绿部分曲线。

Ickiverar

@hujunhua 你的解法是错误的，你假定了加速度完全来自于重力，但没有考虑轨道曲率对加速度的影响。最简单的反驳：考虑一个无重力环境下的xy平面内的圆形轨道，按你的推理第一步，x方向加速度恒为0，但这是荒谬的：小球只能做匀速圆周运动，此时x方向是简谐运动。

Ickiverar

此外，从能量守恒的方面：你的解的动能 $\ddot x^2+\ddot y^2$ 是一个关于  $\theta$ 的三角有理单项式，但重力势能 $y$ 中却含有三角对数项，这两个东西加起来无论如何不可能成为常数。

Ickiverar

我把方程简化了一下，最终需要求解的方程是$\frac{\text{d}y}{\text{d}t}=\sqrt{\sin^2t-ay}$：

1. Clear[x,equ,Energy,EnergyConst,EnergyPhi];
   
2. x=A Sin[\[Omega] t];
   
3. (*能量，实际上是两倍能量=vx^2+vy^2+2gy*)
   
4. Energy=D[x,t]^2+D[y[t],t]^2+2g y[t]
   
5. (*将能量表达式自变量由t换为\[Phi]=\[Omega]t，相位\[Phi]和t是线性关系，可以看作无量纲时间。*)
   
6. EnergyPhi=Energy/.{y[t]->y[\[Phi]],y'[t]->y'[\[Phi]]\[Omega]}/.t->\[Phi]/\[Omega]
   
7. (*根据能量守恒，上式应为常数。考虑t\[Equal]0时，x\[Equal]0，小球位于水平方向简谐运动平衡点，x方向速度最大，位于y方向最低点y\[Equal]0，且y方向速度为0，即y'[\[Phi]]\[Equal]0。则该常数为*)
   
8. EnergyConst=EnergyPhi/.{y[\[Phi]]->0,y'[\[Phi]]->0}/.\[Phi]->0
   
9. (*现在已经得到微分方程*)
   
10. EnergyPhi-EnergyConst
    
11. (*令\[Eta]为 y/A，a\[Equal](2 g)/(A \[Omega]^2)，可以将上式无量纲化：*)
    
12. equ=FullSimplify[(EnergyPhi-EnergyConst)/(A \[Omega])^2/.{y[\[Phi]]->A \[Eta][\[Phi]],y'[\[Phi]]->A \[Eta]'[\[Phi]],g->a A \[Omega]^2/2}]
    
13. (*考虑 0<\[Phi]<\[Pi]/2的区间，此时小球在上升，取上式中 \[Eta]'[\[Phi]]>0 的解，则最终需解的方程为*)
    
14. DSolve[{\[Eta]'[\[Phi]]==Sqrt[Sin[\[Phi]]^2-a \[Eta][\[Phi]]],\[Eta][0]==0},\[Eta][\[Phi]],\[Phi]]

复制代码

hujunhua

@wayne 在10#的质疑是对的，纠正了我一直以来的错误印象，可能@mathe有跟我一样的印象。

设滑行速度为 `v`, 曲线切线倾角为  `φ`。
以下不加下标时，`y'`表示对 `x`求导，`\dot x, \dot y`表示对时间 `t`求导。
则切向加速度为 `\dot v=-g \sin φ`, 水平速度为 $\dot x=vcosφ$,
所以水平加速度为\[
\ddot x=(v\cos φ)'_t=\dot v\cos φ-v\sin φ·\dot φ=-g\sin φ\cos φ-v\sin φ·\dot φ\tag{1}
\]10#的水平加速度与之相比，显然是少了 `-v\sin φ·\dot φ`项。即楼上指出的轨道曲率的作用。
在端点 `v=0`, 所以水平方向最大加速度为 $-g sin φ cos φ$, 其大小不超 `g/2`, 这一点倒是没有变.
所以我们仍然设定端点加速度大小为 $g/2$, 即端点坡度为 45°.
设端点高度为`h`, 则 `v^2=2g(h-y)`, $v_{max}^2=2gh$, 这也是水平速度的最大值平方。
由于已限定振幅为1， 可设水平方向的简谐运动方程为     $x=sin ωt,\dot x=ωcosωt,\ddot x=-ω^2x$
可见水平方向速度最大值平方和加速度最大值均为 $ω^2$, 故有 `ω^2=2gh=g/2`→ `h=1/4, ω=\sqrt{g/2}`
为了归一化，不妨取 `g=2`, 则`ω=1,v^2=1-4y`
水平简谐运动的速度方程为 `\dot x^2=1-x^2`, 将`\dot x=v\cos φ`代入得\[
\frac{1-4y}{1+y'^2}=1-x^2\tag{2}
\]试了一下，Mathematica14都解不出这个非线性方程。
将`y'=\dot y/\dot x`代入可得参数方程\[
\begin{cases}x=\sin t\\\dot y^2+4y=\sin^2 t\end{cases}\tag{3}
\]第2个微分方程与楼上是一致的，用Mathematica14也解不出来。

wayne

关于10楼的加速度分解的物理原理,可以说不存在, 也可以说存在, 既然@mathe 也来凑热闹了, 那我认真补充一下,都说的没问题,只是表述不同, ^_^
1) 受力分析,滑块只受到两个力的作用,一个是重力$G$, 一个是滑道对滑块的斜向内的支持力$N$,反正就是跟重力的方向对抗着来就是了,是曲线的法线方向,向内. 根据牛顿第二运动定律 , $G$和$N$的合力$F =ma$,  方向是曲线的切线方向.
2) 我们引入虚力,$F'=-F$,方向相反, 那么$F',N,G$三个力构成的矢量三角形是等效的静力学平衡.  容易得到 $F=Gsin(\phi)$,也就是说,切向加速度是 $a=\dot v=gsin\phi$

所以,只根据1),我可以认为加速度分解的物理基础是不存在的. 但是依据2),我们又可以继续使用加速度分解(引入虚拟力,产生的等效的静力学平衡)

wayne

wayne 发表于 2025-12-26 15:07
在重力作用下,根据机械能守恒,得到 $\frac{1}{2}m(v_x^2+v_y^2)+mgh=mgH$, 又因为$x(t)=\frac{g}{w^2}sin(w ...

根据4楼,得到 $(\frac{g}{w}coswt)^2+(\frac{dh(t)}{dt})^2+2g*h(t)=2gH$, 由于$t=0,\frac{dh(t)}{dt}=0, h=0$, 得到$2gH=(\frac{g}{w})^2$,于是 $(\frac{dh(t)}{dt})^2+2g*h(t)=(\frac{g}{w}sinwt)^2$ ,与大家的表达式都一样了.
代入$x(t)=\frac{g}{w^2}sin(wt),  v_x=\frac{g}{w}coswt, v_y=\frac{dh(t)}{dt}$ .得到$(frac{g^2}{w^2}-w^2x^2)(1+(\frac{dy}{dx})^2)+2gy=frac{g^2}{w^2}$
再代入$w=1,g=2$,得到$(4-x^2)(1+(\frac{dy}{dx})^2)+4y=4$,
解得的级数解是

1. FullSimplify@ Normal[AsymptoticDSolveValue[{y'[x]^2 + 1 == (4 - 4 y[x])/(4 - x^2), y[0] == 0}, y[x], {x, 0, 15}]]

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\[-\frac{\left(548416667279515083+328651221955696933 \sqrt{5}\right)
   x^{14}}{311057524362629271822848}-\frac{\left(319318469505+193584990733 \sqrt{5}\right)
   x^{12}}{36005087881730560}-\frac{\left(5046322055+3108516389 \sqrt{5}\right) x^{10}}{108504297096896}-\frac{\left(661961+417561
   \sqrt{5}\right) x^8}{2555718272}-\frac{\left(751+493 \sqrt{5}\right) x^6}{473632}-\frac{1}{608} \left(7+5 \sqrt{5}\right)
   x^4-\frac{1}{8} \left(1+\sqrt{5}\right) x^2\]

\[
\begin{array}{l}
\{2\}\to \frac{1}{8} \left(\sqrt{5}-1\right) \\
\{4\}\to \frac{1}{608} \left(5 \sqrt{5}-7\right) \\
\{6\}\to \frac{493 \sqrt{5}-751}{473632} \\
\{8\}\to \frac{417561 \sqrt{5}-661961}{2555718272} \\
\{10\}\to \frac{3108516389 \sqrt{5}-5046322055}{108504297096896} \\
\{12\}\to \frac{193584990733 \sqrt{5}-319318469505}{36005087881730560} \\
\{14\}\to \frac{328651221955696933 \sqrt{5}-548416667279515083}{311057524362629271822848} \\
\{16\}\to \frac{3 \left(30156843946316183493 \sqrt{5}-50768310700641304195\right)}{421482945511362663319959040} \\
\{18\}\to \frac{6401730249995236578288477 \sqrt{5}-10852676488704345349623635}{143154153545261260420644168181760} \\
\{20\}\to \frac{29217198655361571399978320820693 \sqrt{5}-49813459901952722835109298874415}{3074776283776579564575202705370686689280} \\
\{22\}\to \frac{76922410694418290277111524272322342529 \sqrt{5}-131769584793906858026950951042610194820}{37497650100844913051987917916658339994008473600} \\
\{24\}\to \frac{306367765428805908819495576855829602244143 \sqrt{5}-526920517838982237555254585865347860119365}{682817209276345528711479190095181707954896700866560} \\
\{26\}\to \frac{7 \left(1124730159571726697786716494105843179747629199123721 \sqrt{5}-1941088901065625461808854793319932628345386374123505\right)}{79355580764959591259828985547596156249426384952861205921382400} \\
\{28\}\to \frac{11400195382419248158817249752443299743205005343219786087 \sqrt{5}-19733761070459565244248238544276829536154428023971792535}{514859008003057828093770458232803861746278385574163504017929011200} \\
\{30\}\to \frac{45725341094406126764303439683974581831865982489601948786249991 \sqrt{5}-79359243675963293063903974255823759445173376726336056345042655}{9179480275250980913076672249337008375226184796133052842242798759637811200} \\
\{32\}\to \frac{5026858404361248870369452720604724109554909826121026010489147419712211 \sqrt{5}-8744817716421956308694956817172554385330379248482743427631199807259385}{4454888936744514545179878705606257619391790254188009827677167333426452536377344000} \\
\{34\}\to \frac{3 \left(376144136097813042780953635161756342702822150777090282553749170935913665087
   \sqrt{5}-655713496646735675062281431665179875467645116411360720337624780259039404605\right)}{4387921264291796304730916696952102112354045106370953988743593083203452731269505214054400} \\
\{36\}\to \frac{3 \left(87183301210404017396444748997939280839504426568428122774292399881656269072414499
   \sqrt{5}-152267775313933709602876171820531520412108828095058460667778441534971459160720015\right)}{4438645634107009470013606093968868412772857867800602216853469019245284644842980694328868864000} \\
\{38\}\to \frac{91 \left(49880148878352869244715022994060520507423258485049760398151963219329638642820949901511
   \sqrt{5}-87264974459224460405693075396103124192576056348956140516511506448379194840945621151585\right)}{334582059937827267694606102522612347195039850377419236352595527296398336298228453722795528313634816000} \\
\{40\}\to \frac{7 \left(89560240394621409372640914197432327371924841784127079118776560239927012104382690660892210639
   \sqrt{5}-156927329577156876382386953157356826443889366498247145276952193245471460380014880788667414615\right)}{199859582265321677911963703886959782085832299264297984062095764870757878602720082775228403678394934624256000} \\
\{42\}\to \frac{3172282030710812491419189893652171295908826800880580728651179457980236886325979066015313310910170661305
   \sqrt{5}-5566327072909812043748316166404953054127740986274231787411537633745600046494820803338048828741757967151}{4356982854897446823167725616095957632918731287805906826066857940891154255183791016014826604979139481915390620598272000} \\
\end{array}
\]

1. a[1] = 0;
   
2. a[n_] := If[Mod[n, 2] == 1, 0, Subscript[a, n]]; Do[
   
3. fx = Sum[If[i == 2 m, Subscript[a, 2 m], a[i]] x^i, {i, 1, 2 m + 1}];
   
4.   sol = SolveValues[
   
5.    Coefficient[4 - 4 fx - (D[fx, x]^2 + 1) (4 - x^2), x^(2 m)] == 0,
   
6.    Subscript[a, 2 m]];
   
7. If[Length[sol] > 0, a[2 m] = FullSimplify[Last@sol]], {m, 20}];
   
8. fx

复制代码

hujunhua

设 $y=a_1x^2+a_2x^4+a_3x^6+...+a_rx^{2r}+...$
由 15#的方程(2)解得\[\begin{split}
&a_1=\frac{\sqrt2-1}2≈0.207107\\
&a_2=\frac{4\sqrt2-5}{28}≈0.0234591\\
&a_3=\frac{29\sqrt2-38}{392}≈0.00768417\\
&a_4=\frac{741\sqrt2-991}{15778}≈0.00360833\\
&a_5=\frac{5(398507\sqrt2-539096)}{60082624}≈0.00203703\\
&a_6=\frac{720697\sqrt2-982152}{28815136}≈0.00128639\\
&a_7=\frac{5 (1556988441871\sqrt2-2132772637848)}{394632047321344}≈0.000876025\\
&a_8=\frac{3 (146153667670419\sqrt2-200965448001404)}{27278940271087904}≈0.000629832\\
&a_9=\frac{5577416513496157005\sqrt2--7691649054995007296}{415512818209210953728}≈0.000471728\\
&a_{10}=\frac{382274845963828979775\sqrt2-528417116345422804928}{33448781865841481775104}≈0.000364771
\end{split}\]验算
`y(1)≈a_1+a_2+...+a_{10}≈0.247524,\\ y'(1)=2a_1+4a_2+...+20a_{10}≈0.656957`
收敛好慢，是不是算错了。