求简谐下滑曲线的方程

hujunhua

如图所示的曲线，假定一个滑块沿着该曲线从最高点无初速释放, 受重力作用滑下，到达最低点后受惯性作用上升，若这一往复运动在水平面的投影是简谐振动， 试求该曲线的方程。
不妨设定几个边界条件：
1、-1≤x≤1.
2、在最高点时水平方向加速度大小等于g/2.

wayne

我感觉条件不足.  水平方向的运动方程虽然是 已知的,但是竖直方向 可以是完全的独立不相关.

northwolves

假设最高点 $H, A=2H, y=(\sqrt[A^2  (1 + x^2) - x^4] - A)/(A^2 - x^2)$

wayne

在重力作用下,根据机械能守恒,得到 $\frac{1}{2}m(v_x^2+v_y^2)+mgh=mgH$, 又因为$x(t)=\frac{g}{w^2}sin(wt),  v_x=\frac{g}{w}coswt, v_y=\frac{dh(t)}{dt}$ , 也就是需要解微分方程 $(\frac{g}{w}coswt)^2+(\frac{dh(t)}{dt})^2+2g*h(t)=2gH$
这个好像不容易计算. 只能数值计算了.

这题目可以一般化, 比如$x(t)=a-b t$,, 但就算是这样的表达式,虽然可以得到解析解,但是解析解 仍然非常复杂

282842712474

有点没懂，“在最高点时水平方向加速度等于g/2”这个条件是否必要？

282842712474

贴一个Kimi的解（还没仔细审查）：https://www.kimi.com/share/19b5a6c0-c212-8a89-8000-0000d51fa099

Ickiverar

水平方向加速度等于g是不可能的。

Ickiverar

令水平方向运动为简谐运动 $x=A\sin(\omega t)=A\sin(\phi)$, 则竖直方向运动 $y(\phi)$ 满足
$y''(\phi)=B+A^2(\frac{\cos\phi\sin\phi}{y'(\phi)}-1/B), if \sin\phi!=0;$
$y''(\phi)=B, if \sin\phi=0.$
$y(0)=y'(0)=0$
其中 $\omega=\sqrt{\frac{gB}{A^2-B^2}}$，$g$为重力加速度。
注意求导的自变量是$\phi=\omega t$，所以$y'(\phi)=\frac{v_y(t)}{omega}$。

令无量纲量$u=B/A$，无量纲坐标$(\xi,\eta)=(x/A,y/A)$，则有
$\xi=\sin(\phi);$
$\eta''(\phi)=u+(\frac{\cos\phi\sin\phi}{\eta'(\phi)}-1/u), if \sin\phi!=0;$
$\eta''(\phi)=u, if \sin\phi=0.$
其中相位$\phi$可视为为无量纲时间。

Ickiverar

当$u>0.42...$时，解似乎无物理意义，因为在$\phi=\pi/2$时$y'(\phi)$不能抵达$0$。

这个原因可能是满足水平方向简谐运动的轨道在水平方向的两端处斜率不能太陡，否则势能和动能的转换不能满足简谐运动的局域条件？

当$u<0.2...$时，数值求解会比较困难，$y$很容易就掉到负无穷去了，但似乎降低步长就可以解决，$u$似乎可以取到任意小的正值。

hujunhua

设在 `x` 处的切线倾角为 $θ, y'=tan θ$. 那么水平方向的加速度$=-g * sin θ * cos θ=-1/2g*sin 2θ=-g*(y')/(1+y'^2)$
若水平面上的投影为简諧振动，则 $-g*(y')/(1+y'^2)= -kx$
取 回复系数 $k=g/2$,(响应 $x=1$ 时，加速度等于$-g/2$), 得方程\[
y'^2-\frac2x\cdot y'+1=0\tag1
\]先解代数方程得\[
y'=\frac1x-\sqrt{\frac1{x^2}-1}\tag{2}
\]然后求积分得\[
y=1-\sqrt{1-x^2}+\ln\frac{1+\sqrt{1-x^2}}2\tag3, (-1≤x≤1)
\]参数方程更简洁    $x=sin 2θ, y=2sin^2θ+lncos^2θ$

曲线图形如下