求定积分的极限问题

mathe

设\(f(x)\)绝对可积，\(F(t)\)是其Fourier变换，于是\(F(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)e^{-ixt}dx\),
而逆变换是\(f(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}F(t)e^{ixt}dt\),
而在不连续点，逆变换左边的结果是\(f(x-),f(x+)\)的平均值，也就是函数在x处左右极限的平均值,所以可以统一写成
\(\frac{f(x-)+f(x+)}{2}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}F(t)e^{ixt}dt\)
对应到本题，对于任意一个函数g(x),由于我们积分限仅从\(0\)到\(+\infty\),我们补充定义g(x)在负数区间为0即可
特别对于x=0得到
\(\pi g(0+)=\int_{-\infty}^{+\infty}G(t)dt\)

zuijianqiugen

mathe 发表于 2014-5-6 22:02
设\(f(x)\)绝对可积，\(F(t)\)是其Fourier变换，于是\(F(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)e^{-ixt}dx\),
...

mathe版主讲的是傅立叶变换。结合本题，不明白G(t)、g(0+)是什么？望指点一下！

mathe

\(\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}G(t)dt=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}g(x)e^{-ixt}dxdt=\int_{-\infty}^{+\infty}g(x)dx\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-ixt}dt=\lim_{n\to+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}g(x)dx\int_{-n}^{+n}e^{-ixt}dt=\lim_{n\to+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{2sin(nx)}{x}g(x)dx\)

\(\displaystyle \therefore \lim_{n\to+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{sin(nx)}{x}g(x)dx=\frac{\pi}{2}\lim_{x\to0+}g(x)dx\)