求定积分的极限问题

zuijianqiugen

mathe 发表于 2014-5-5 21:41
这个问题本质是富丽叶变化，后面e^-x可以换成任何连续函数，结果只同f(0)相关

mathe版主，您好！你说的f(x)是哪个函数？

zuijianqiugen

mathe 发表于 2014-5-5 21:41
送什么应该同你自己的积分没关系吧？

刚打开电脑，回复太晚，多多包涵。虽然积分事小，但体现该论坛的水平和风格高尚。

mathe

一般情况我们可以计算sin(nx)/x*f(x)积分在n趋向无穷的极限，其中f在0连续而且绝对可积.然后我们把sin(nx)/x替换成上面的积分，交换两积分顺序，里层就是f的富丽叶变化。而外层就是逆变化在x=0的取值差一个常数倍

zuijianqiugen

mathe 发表于 2014-5-5 22:28
一般情况我们可以计算sin(nx)/x*f(x)积分在n趋向无穷的极限，其中f在0连续而且绝对可积.然后我们把sin(nx)/ ...

注意，是论坛修改了我的原题：分母是sinx;
实际上，此题来源于“椭圆级数前n项和的公式”：
http://zuijianqiugen.blog.163.co ... 622013030112158307/
我猜想：椭圆级数∑(n=1…∞)q^{n^2}（0＜q＜1）应存在极限，
其极限值可能要用特殊函数来表示。

mathe

分母sin(x)和x是等价的

zuijianqiugen

mathe 发表于 2014-5-6 08:35
分母sin(x)和x是等价的

椭圆级数∑(n=1…∞)q^{n^2}（0＜q＜1）的极限值可能要用特殊函数来表示。
mathe版主，能否得出结果？

zuijianqiugen

mathe 发表于 2014-5-5 22:28
一般情况我们可以计算sin(nx)/x*f(x)积分在n趋向无穷的极限，其中f在0连续而且绝对可积.然后我们把sin(nx)/ ...

我还是不明白，如何把sin(nx)/x替换成上面的积分？

wayne

zuijianqiugen 发表于 2014-5-5 22:51
注意，是论坛修改了我的原题：分母是sinx;
http://zui ...

这个\(\rm\TeX\)公式是我追加的，抱歉，没有事先通知你。
当时也完全是无意之举，抄袭错了。反而很凑巧的是我添加的有解析解，而楼主的没有解析解。
现在想来，幸亏没有删除你的表达式

首先，我求一下分母是x的那个积分(前面mathe已经明确的阐明了)
\[ \begin{aligned}
\int_0^{\infty } \frac{e^{-x} \sin(N x)}{x} \, dx &= \frac{1}{2} \int_0^{\infty } e^{-x} \int_{-N}^N e^{i t x} \, dt \, dx   \\
&=\frac{1}{2}\int _{-N}^Ndt \int_0^{\infty } e^{-x} e^{i t x} \, dx \\
&=\frac{1}{2} \int_{-N}^N \frac{i}{t+i} \, dt \\
&=\frac{1}{2} \int_{-N}^N \frac{1+i t}{t^2+1} \, dt \\
&=\frac{1}{2} \int_{-N}^N \frac{1}{t^2+1} \, dt \\
&=\text{ArcTanN}
\end{aligned} \]
所以 \[\displaystyle \lim_{N\to \infty } \int_0^{\infty } \frac{\sin(N x)e^{-x} }{x} \, dx  =\displaystyle \lim_{N\to \infty }{\text{Arctan} N } =\frac{\pi}{2}\]

其次，分母是sinx的那个积分：
\[ \begin{aligned}
\lim_{N\to \infty } \int_0^{\infty } \frac{e^{-x} \sin(N x)}{\sin(x)} \, dx &=\frac{1}{2} \lim_{N\to \infty } \, \int_0^{\infty } \frac{\left(x e^{-x}\right) \int_{-N}^N e^{i t x} \, dt}{\sin (x)} \, dx   \\
&=\frac{1}{2}\int _{-\infty }^{\infty }dt \int_0^{\infty } \frac{x e^{-x} e^{i t x}}{\sin(x) } \, dx
\end{aligned} \]

mathe,help ~~， 帮我补全吧。
唉，傅立叶变换 都忘得差不多了。
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感觉可以用留数定理解决的

mathe

你可以看wiki你的内容， http://zh.m.wikipedia.org/wiki/%E5%82%85%E9%87%8C%E5%8F%B6%E5%8F%98%E6%8D%A2

mathe

电脑被老婆征用了，只能用手机，输入很麻烦，请见谅