关于方程a^2+b^2=c^2+1的通解探索

kte

王守恩 发表于 2018-10-23 10:21
关于方程\(\ \ \ a^2+b^2=c^2+1\ \ \ \)的通解

    \((2n+1)^2+(n^2+n-1)^2=(n^2+n+1)^2+1\)

c=776,怎么破

manthanein

好贴，顶一下

葡萄糖

王守恩 发表于 2018-10-23 10:21
关于方程\(\ \ \ a^2+b^2=c^2+1\ \ \ \)的通解

    \((2n+1)^2+(n^2+n-1)^2=(n^2+n+1)^2+1\)

Choudhry
\(a^2+b^2=c^2+1\)
\((p^2q+p-q)^2+(2pq+1)^2=(p^2q+p+q)^2+1\)
[A Collection of Algebraic Identities]  (002: Sums of Two Squares, Part 2) https://sites.google.com/site/tpiezas/003
这个代数恒等式也不是它的通解！
当\(p\)与\(q\)都属于非零整数集时，不能使得\(p^2q+p+q\)取到\(\pm776\)
只有
当\(\left(p,q\right)=(0,776)\,\text{or}\,(776,0)\)时，\(p^2q+p+q\)取到\(+776\)
当\(\left(p,q\right)=(-776,0)\,\text{or}\,(0,-776)\)时，\(p^2q+p+q\)取到\(-776\)
\begin{align*}
1+{\color{red}{776}}^2&=104^2+769^2\\
&=511^2+584^2
\end{align*}

葡萄糖

$a^2+b^2=c^2+1$
\begin{align*}
\left\{
\begin{split}
a&=2 p q + q + 1\\
b&=2 p (p q + q + 1) + 1\\
c&=2 p (p q + q + 1) + q + 1\\
\end{split}
\right.
\end{align*}
https://math.stackexchange.com/questions/351491

1. x^2 + y^2 - z^2 /. {x -> 2 p*q + q + 1, y -> 2 p (p*q + q + 1) + 1,
   
2.    z -> 2 p (p*q + q + 1) + q + 1} // FullSimplify

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不知道这一组解是不是通解