等比数列之和为一个平方数

manthanein · 发表于 2015-10-31 20:18:19

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设等比数列的首项为a，公比为q，q＞1，a<q。a、q均为正整数。
总共有n项，n＞2。
由此：
$\dfrac {a(q^{n}-1)} {q-1}=x^{2}$
这个方程的解我想应该是有限的。
已经找到：
$1+7+49+343=20^{2}$

最后感谢http://bbs.emath.ac.cn/thread-6235-1-1.html，这个问题的灵感源于此。

manthanein · 发表于 2015-10-31 22:27:47

十分幸运，已经有人研究并解决了a=1的情况
http://bbs.emath.ac.cn/forum.php ... B%B6%A8%B7%BD%B3%CC

manthanein · 发表于 2015-10-31 22:29:37

$1+3+9+27+81=11^{2}$

manthanein · 发表于 2015-10-31 23:17:27

这个问题也很有历史
http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/aa/aa21/aa21117.pdf

manthanein · 发表于 2015-10-31 23:17:48

不过我的问题条件弱一些

aimisiyou · 发表于 2015-10-31 23:56:49

本帖最后由 aimisiyou 于 2015-11-1 00:16 编辑

不妨令$$a=1,n=2k+1$$,显然$s=1+q+q^2……+q^{2k+1} \equiv 0 \pmod {q+1}$，$当
q+1=t_1^2t_p,t_p为非完全平方数，令s=m^2t_1^2t_p^2$。可令$q=4^j*3-1,故q+1=4^j*3,s=m^2*4^j*3^2,即合理取值k和j，使得m为整数$。

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