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[提问] 等比数列之和为一个平方数

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发表于 2015-10-31 20:18:19 | 显示全部楼层 |阅读模式

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设等比数列的首项为a,公比为q,q>1,a<q。a、q均为正整数。
总共有n项,n>2。
由此:
\(\dfrac {a(q^{n}-1)} {q-1}=x^{2}\)
这个方程的解我想应该是有限的。
已经找到:
\(1+7+49+343=20^{2}\)

最后感谢http://bbs.emath.ac.cn/thread-6235-1-1.html,这个问题的灵感源于此。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2015-10-31 22:27:47 | 显示全部楼层
十分幸运,已经有人研究并解决了a=1的情况
http://bbs.emath.ac.cn/forum.php ... B%B6%A8%B7%BD%B3%CC
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 楼主| 发表于 2015-10-31 22:29:37 | 显示全部楼层
\(1+3+9+27+81=11^{2}\)
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 楼主| 发表于 2015-10-31 23:17:27 | 显示全部楼层

点评

1972年,Inkeri考虑了a(xⁿ-1)/(x-1)=yᵐ的解,在1<a<x≤10时,他给出了方程的全部解n=a=4, x=7, m=2, y=40  发表于 2018-9-11 18:20
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 楼主| 发表于 2015-10-31 23:17:48 | 显示全部楼层
不过我的问题条件弱一些
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发表于 2015-10-31 23:56:49 | 显示全部楼层
本帖最后由 aimisiyou 于 2015-11-1 00:16 编辑

不妨令$$a=1,n=2k+1$$,显然\(s=1+q+q^2……+q^{2k+1} \equiv 0 \pmod {q+1}\),\(当
q+1=t_1^2t_p,t_p为非完全平方数,令s=m^2t_1^2t_p^2\)。可令\(q=4^j*3-1,故q+1=4^j*3,s=m^2*4^j*3^2,即合理取值k和j,使得m为整数\)。
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