表正方形和三角形边线的函数

hujunhua

用几何画板做一个动画，如果需要用正方形边上的点来驱动，那么最好正方形的四条边是一个对象，否则就需要做四个动画来衔接。
但是几何画板软件并没有连接、合并线段的命令，也不能定义分段函数，如何实现正方形边界一体化呢？
有两个方法：
一是用近似正方形的曲线，例如：
`\D x^{2n}+y^{2n}=1`（n为2以上的自然数)
n=2和4的图像分别如下左右图：

二是寻找可以完全表示正方形边界的函数，这也不难，例如
`\D\abs x+\abs y=1`的图像如下图左：

当然，在几何画板上实际画以上函数曲线时，方程必须化成参数方程或者极坐标方程，比如`\D\abs x+\abs y=1`化作
`\D\rho=\frac1{\abs{\cos\theta}+\abs{\sin\theta}}`
将这个斜置正方形摆正的方程为`\D\rho=\frac1{\abs{\cos(\theta+\pi/4)}+\abs{\sin(\theta+\pi/4)}}`,图像如上图右。

那么，表正三角形边界的函数是怎样的呢？

wayne

我能给出 菱形，等腰梯形的 表达式， 三角形的话，有点困难，

wayne

拼凑了好久，总算整出来了~
`\D r(t) = \csc\left(t\ \text{mod}\frac{2\pi }{3}+\frac{\pi }{6}\right)`

kastin

其实这样的图像，无论多复杂，都可以用数据点离散依次连接来绘制，matlab就是基于这种方式的，所以任何二维图都可以绘制（无论是隐函数还是参数方程，或者根本没有表达式）。
因为这种方式不依赖于解析性，所以折线也能绘制。比如三角形，正方形，多边形都可以看成是圆的参数方程的离散逼近。将角度离散成n等分，半径若不变，那就是正n边形。不过估计几何画板对这种坐标点相连形式绘图不是很方便，所以只能用函数形式来绘制。、
之所以上面的四边形可以用绝对值的函数来绘制，乃是因为直角坐标系的特征，绝对值就导致对称，正好坐标轴也是对称的，所以就能绘制。这种对称效果带来的副产品就是——线段得以绘制，而一般情况下函数无法绘制线段，这也是三角形无法绘制的原因，因为底边没法封闭。

假如我们构造一个二维正等轴测图的坐标轴（三个轴线互相成120度），那么三角形也很容易绘制，只是这时候就无法用笛卡尔坐标方程表示，得用这种特殊坐标系的方程表示（三个自变量），但是没有软件支持这种坐标系绘图。

综上，如果非得在笛卡尔坐标系内，用函数的形式来绘制三角形，那么必须解决线段的绘制问题，一次对称只能产生射线，而非线段。因此得拓宽函数的概念，才能绘制出三角形。比如楼上给出的同余函数mod，可以利用周期性做到产生线段的效果。第二种就是利用广义函数（类似符号函数sign，Dirac函数，Heaviside函数这样的），我们可以定义一个"正值符号函数"$$\mathrm{Posi}(x)=\begin{cases}1&(x>0)\\
0&(x\leqslant 0)\end{cases}$$那么下面的这种表达式就能产生三角形$$y\,\mathrm{Posi}(y)(y\,\mathrm{Posi}(y)+|x|-\mathrm{Posi}(y))=0$$
Matlab代码：ezplot('y*(y>0)*((y>0)*y+abs(x)-(y>0))',[-1.2,1.2,-0.2,1.2])
效果

三角形

wayne

蛮好玩的。有谁知道，下面的图像的方程是什么？

hujunhua

第一个是`\D\rho=\frac1{\abs{\cos(\theta+\pi/4)}-\abs{\sin(\theta+\pi/4)}}`
正方形的补集，反一个符号。

hujunhua

三角形的方程很有启发性，正n边形完全类似可得。
`\D\rho=\sec\left(\theta\ \text{mod}\frac{2\pi}{n}-\frac{\pi}{n}\right)`

chyanog

1. triangleEq[{{x1_,y1_},{x2_,y2_},{x3_,y3_}}]/;y2<y1&&y3<y1:=
   
2. With[{
   
3. s=Det[{{x1,y1,1},{x2,y2,1},{x3,y3,1}}],
   
4. s1=Det[{{x,y,1},{x2,y2,1},{x3,y3,1}}],
   
5. s2=Det[{{x,y,1},{x1,y1,1},{x2+x3,y2+y3,2}/2}]
   
6. },
   
7. Abs[2s1-s+2Abs[s2]]+2Abs[s2]==s];
   
8. pts={{1,5},{-5,2},{3,-4}};
   
9. eq=triangleEq[pts]//Simplify
   
10. ContourPlot[Evaluate@eq,{x,-6,6},{y,-6,6}]

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