三个椭圆同心吗？

hujunhua · 发表于 2015-11-19 00:35:29

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如图所示的三个椭圆两两相交，每个椭圆的焦点都是其它两个椭圆的交点。
问：这三个椭圆的焦轴共点，并且互相平分吗？
无标题1.png

mathe · 发表于 2015-11-19 06:45:29

互过对方焦点的椭圆信息很多。就不知道能否再弱化题目

wayne · 发表于 2015-11-19 11:11:18

信息太多,错综复杂,逆回去很费劲,

wayne · 发表于 2015-11-19 11:32:42

六个相关的点, 顺时针数数,从最左边的标记为1, 依次为 $P_i$,设置椭圆半长轴为$a$, 那么,可以得到方程:

\[|P_1 P_2|+|P_2 P_4|=2 a_1,|P_1 P_3|+|P_3 P_4|=2 a_1,|P_1 P_5|+|P_5 P_4|=2 a_1,|P_1 P_6|+|P_6 P_4|=2 a_1,\]
\[|P_2 P_3|+|P_3 P_5|=2 a_3,|P_2 P_4|+|P_4 P_5|=2 a_3,|P_2 P_1|+|P_1 P_5|=2 a_3,|P_2 P_6|+|P_6 P_5|=2 a_3,\]
\[|P_3 P_4|+|P_4 P_6|=2 a_2,|P_3 P_5|+|P_5 P_6|=2 a_2,|P_3 P_1|+|P_1 P_6|=2 a_2,|P_3 P_2|+|P_2 P_6|=2 a_2\]

六个点,12个参数, 对应十二个方程. 这十二个方程是否独立不相关呢?

hujunhua · 发表于 2015-11-19 16:38:59

发现除了同心，还有一种焦轴平行的解。就这两种。
无标题小.png

hujunhua · 发表于 2015-11-19 17:06:00

mathe 发表于 2015-11-19 06:45
互过对方焦点的椭圆信息很多。就不知道能否再弱化题目

两个椭圆互过焦点, 四个焦点要么构成平行四边形，要么构成等腰梯形。没有其它情况。
而且不管哪种情况，两个椭圆的长轴都必定相等。

如图所示，由两椭圆互过焦点可得
|CA|+|CB|=|DA|+|DB|,
|AC|+|AD|=|BC|+|BD|
由此可得
|AC|=|BD|, |AD|=|BC|
推论：
|CA|+|CB|
=|DA|+|DB|
=|AC|+|AD|
=|BC|+|BD|:=2a

dingjifen · 发表于 2020-1-3 21:52:47

可以看出，胡教授也是一位几何大师。
盼解答《[求助] 一道几何上的问题》https://bbs.emath.ac.cn/thread-17096-1-1.html

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