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[提问] 三个椭圆同心吗?

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发表于 2015-11-19 00:35:29 | 显示全部楼层 |阅读模式

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如图所示的三个椭圆两两相交,每个椭圆的焦点都是其它两个椭圆的交点。
问:这三个椭圆的焦轴共点,并且互相平分吗?
无标题1.png
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2015-11-19 06:45:29 来自手机 | 显示全部楼层
互过对方焦点的椭圆信息很多。就不知道能否再弱化题目
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发表于 2015-11-19 11:11:18 | 显示全部楼层
信息太多,错综复杂,逆回去 很费劲,
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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发表于 2015-11-19 11:32:42 | 显示全部楼层
六个相关的点, 顺时针数数,从最左边的标记为1, 依次为 $P_i$,设置椭圆半长轴为$a$, 那么,可以得到方程:

\[|P_1 P_2|+|P_2 P_4|=2 a_1,|P_1 P_3|+|P_3 P_4|=2 a_1,|P_1 P_5|+|P_5 P_4|=2 a_1,|P_1 P_6|+|P_6 P_4|=2 a_1,\]
\[|P_2 P_3|+|P_3 P_5|=2 a_3,|P_2 P_4|+|P_4 P_5|=2 a_3,|P_2 P_1|+|P_1 P_5|=2 a_3,|P_2 P_6|+|P_6 P_5|=2 a_3,\]
\[|P_3 P_4|+|P_4 P_6|=2 a_2,|P_3 P_5|+|P_5 P_6|=2 a_2,|P_3 P_1|+|P_1 P_6|=2 a_2,|P_3 P_2|+|P_2 P_6|=2 a_2\]

六个点,12个参数, 对应十二个方程. 这十二个方程是否独立不相关呢?

点评

由此可得`|P_iP_j|=|P_{i+3}P_{j+3}|`,`i≠j\pmod3`,`a_1=a_2=a_3`  发表于 2015-11-24 17:11
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 楼主| 发表于 2015-11-19 16:38:59 | 显示全部楼层
发现除了同心,还有一种焦轴平行的解。就这两种。
无标题小.png
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 楼主| 发表于 2015-11-19 17:06:00 | 显示全部楼层
mathe 发表于 2015-11-19 06:45
互过对方焦点的椭圆信息很多。就不知道能否再弱化题目

两个椭圆互过焦点, 四个焦点要么构成平行四边形,要么构成等腰梯形。没有其它情况。
而且不管哪种情况,两个椭圆的长轴都必定相等。

如图所示,由两椭圆互过焦点可得
|CA|+|CB|=|DA|+|DB|,
|AC|+|AD|=|BC|+|BD|
由此可得
  |AC|=|BD|, |AD|=|BC|
推论:
|CA|+|CB|=|DA|+|DB|=|AC|+|AD|=|BC|+|BD|:=2a
  
无标题.png

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wayne + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 原来我曾经离真理这么近, :)

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发表于 2020-1-3 21:52:47 | 显示全部楼层
可以看出,胡教授也是一位几何大师。
盼解答《[求助] 一道几何上的问题》https://bbs.emath.ac.cn/thread-17096-1-1.html
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