3人玩游戏决定谁买单，这个游戏公平吗？

KeyTo9_Fans

综合所有知乎网友的回答，以下结论是普遍被认可的：

A必需严格随机出，才可以保证败率不超过$1/4$。否则A只要有一丁点不随机，就会被BC利用，导致败率大于$1/2$。

当A严格随机出的时候，BC就遇到了囚徒困境。由于不能串通，BC的败率之和必定大于等于$3/4$。

当BC都采取各自的占优策略（即互相背叛）时，那么三方的策略就达到纳什均衡了，这是此三人博弈里唯一的一个纳什均衡点。

但对BC来说，这一结果反而是最糟糕的：BC两败俱伤，败率各为$1/2$，A坐收渔翁之利，败率为$0$。

所以BC会想方设法逃出这个囚徒困境。所幸的是，这个囚徒困境并不难逃脱。

这个囚徒困境与一般的囚徒困境最大的区别是：当一方坚持背叛的时候，另一方选择合作不会有任何损失。

因此当一方坚持背叛的时候，另一方为了逃出囚徒困境，会随机乱出或者使用完全相反的固定策略去搅局，反正怎么搅局都没有任何损失嘛。

于是很神奇的事情发生了：唯一的纳什均衡点竟然会被人搅局，变得不稳定了！

之所以会出现这样的矛盾，是因为纳什均衡理论是基于所有的参与者都是极端理性，完全没有感情用事，并且【所有的参与者都是极端理性】是公共知识（即：1:所有的参与者都是极端理性的，2:每个人都知道1，3:每个人都知道2，4:每个人都知道3，……）的前提下得出的。

然而，人是有感恩之心（如果你不对我使坏，那么我也不会对你使坏）和报复之心（如果你坚持对我使坏，那么我也会坚持对你使坏）的，

因此当【每个人都有感恩之心和报复之心】成为公共知识（即：1:每个人都有感恩之心和报复之心，2:每个人都知道1，3:每个人都知道2，4:每个人都知道3，……）的时候，BC的最佳策略就变成互相合作了。

（说白了就是BC的策略都是【如果你合作，那么我也合作；如果你背叛，那么我也背叛】并且互相知道，于是在这个前提下，【合作】就变成BC的最佳策略了）

结果BC的败率皆为$3/8$，A的败率为$1/4$。

这对BC来说，就是该三人博弈的最好结果了，而且A无法破坏BC的合作（前面说过，A只要有一丁点不随机，就会被BC利用，导致败率大于$1/2$）。

KeyTo9_Fans

前面的讨论都是基于【任何$2$人都没有互相串通】的前提下进行的。

如果把这个假设去掉，结果会怎样呢？

具体地说，是任何$2$个人都可以串通，且串通的规律无法被第$3$人识破（这也是一种平等嘛）。

例如，当A会背$e$和$\phi$，B会背$e$和$\pi$，C会背$\phi$和$\pi$，并且这是公共知识的时候，任何$2$个人都可以串通，且串通的规律无法被第$3$人识破。

一种可能的结果是，BC把$\pi$的二进制小数转化成手心手背，两个人就可以把把出相同的手，且A无法预测，结果A的败率被锁死在$1/2$，然后由A来决定剩下的$1/2$败率如何分配给B和C。

但这个结果似乎不稳定。

由于A是知道B和C是拿他不会背的$\pi$来欺负他的，A为了减小自己的败率，很可能会威胁BC的其中一方。

例如，A会对B说：你跟我合作，各自独立地以$2/3$的概率出手心如何？这样就能把C的败率锁死在$4/9$，由C来决定剩下的$5/9$败率如何分配给我们。但不论C如何分配，我们的败率都必定介于$1/9$到$4/9$之间，不可能大于$4/9$。但你要是坚持与C合作，我就会拉你下水，把剩余的$1/2$败率全放你身上，让你死得比$4/9$的败率更惨。

于是B由于受到了A的威胁，很可能就会与A合作，从而获得介于$1/9$到$4/9$之间的败率，而不是$1/2$的败率。

但这个结果似乎仍然不稳定，C可能会把B拉回来说，要是A敢威胁你，让你的败率大于$1/3$，我们就采取固定的策略对付A，让A的败率大于$2/3$，我们的败率之和小于$1/3$，看A还敢不敢拉你下水。如果你还是坚持与A合作，我就把你的败率锁死在$4/9$，让你死得比$1/3$的败率更惨。

于是B由于受到了C的威胁，很可能又跑回去与C合作，从而获得不超过$1/3$的败率，而不是$4/9$的败率。

但这个结果就稳定了吗？A还有没有别的招呢？

有什么串通策略即使公开叫板，第$3$个人也无可奈何呢？

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KeyTo9_Fans 发表于 2017-10-31 21:05
前面的讨论都是基于【任何$2$人都没有互相串通】的前提下进行的。

如果把这个假设去掉，结果会怎样呢？
...

这个假设有问题……问题在于A无法保证自己同时做到威慑跟行为不可预测

当A表示自己准备把$\frac1 2$的失败率分配给B而非C的时候……A只能出手心……于是B表示，只要A敢这么说，B一定会出手心，从而C也会出手心……感觉问题复杂度直接x2……我们需要关心的是A的威慑是否是真的……

BTW，改头像的时候报cannot write to the data/tmp folder是什么情况……

KeyTo9_Fans

$12$楼问道：有什么串通策略即使公开叫板，第$3$个人也无可奈何呢？

最近似乎又想到了一个策略：签协议。

例如：$B$和$C$签订以下协议：

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第$1$条、盯紧$A$：时刻关注$A$出手的熵，如果出手的熵小于$1$比特/次，则根据$A$所丢失的熵，把$A$的败率整成大于$1/2$，否则遵守第$2$条。

第$2$条、自律：保证自己出手的熵为$1$比特/次。

第$3$条、毁约惩罚：如果发现对方不遵守第$2$条，则执行毁约预案：回归纳什均衡策略。
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这协议非常牛B，以至于$B$和$C$当着$A$的面，把协议内容给$A$看，然后双方签约，最后遵照执行，$A$也拿$B$和$C$没有办法。

协议生效后，$3$人的策略最终将趋于满熵出手，也就是完全随机。

结果$A$的败率为$1/4$，$B$和$C$的败率为$3/8$。

而且这一策略将变得非常稳定，$A$无可奈何只能坚持满熵出手，$B$和$C$害怕毁约惩罚，也不敢不坚持满熵出手。

（要注意，毁约惩罚的纳什均衡结果是，$A$的败率为$0$，$B$和$C$的败率为$1/2$，$B$和$C$任何一方都不希望这样的结果。）

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那么，问题又来了：

$A$能否拟定一份新的协议，然后诱惑$B$和$C$的其中一方和他签约（比如：保证签约方的败率小于$3/8$），以获得低于$1/4$的败率呢？