数学研发论坛

 找回密码
 欢迎注册
12
返回列表 发新帖
楼主: KeyTo9_Fans

[转载] 3人玩游戏决定谁买单,这个游戏公平吗?

[复制链接]
 楼主| 发表于 2017-10-30 14:21:16 | 显示全部楼层
综合所有知乎网友的回答,以下结论是普遍被认可的:

A必需严格随机出,才可以保证败率不超过$1/4$。否则A只要有一丁点不随机,就会被BC利用,导致败率大于$1/2$。

当A严格随机出的时候,BC就遇到了囚徒困境。由于不能串通,BC的败率之和必定大于等于$3/4$。

当BC都采取各自的占优策略(即互相背叛)时,那么三方的策略就达到纳什均衡了,这是此三人博弈里唯一的一个纳什均衡点。

但对BC来说,这一结果反而是最糟糕的:BC两败俱伤,败率各为$1/2$,A坐收渔翁之利,败率为$0$。

所以BC会想方设法逃出这个囚徒困境。所幸的是,这个囚徒困境并不难逃脱。

这个囚徒困境与一般的囚徒困境最大的区别是:当一方坚持背叛的时候,另一方选择合作不会有任何损失。

因此当一方坚持背叛的时候,另一方为了逃出囚徒困境,会随机乱出或者使用完全相反的固定策略去搅局,反正怎么搅局都没有任何损失嘛。

于是很神奇的事情发生了:唯一的纳什均衡点竟然会被人搅局,变得不稳定了!


之所以会出现这样的矛盾,是因为纳什均衡理论是基于所有的参与者都是极端理性,完全没有感情用事,并且【所有的参与者都是极端理性】是公共知识(即:1:所有的参与者都是极端理性的,2:每个人都知道1,3:每个人都知道2,4:每个人都知道3,……)的前提下得出的。

然而,人是有感恩之心(如果你不对我使坏,那么我也不会对你使坏)和报复之心(如果你坚持对我使坏,那么我也会坚持对你使坏)的,

因此当【每个人都有感恩之心和报复之心】成为公共知识(即:1:每个人都有感恩之心和报复之心,2:每个人都知道1,3:每个人都知道2,4:每个人都知道3,……)的时候,BC的最佳策略就变成互相合作了。

(说白了就是BC的策略都是【如果你合作,那么我也合作;如果你背叛,那么我也背叛】并且互相知道,于是在这个前提下,【合作】就变成BC的最佳策略了)

结果BC的败率皆为$3/8$,A的败率为$1/4$。

这对BC来说,就是该三人博弈的最好结果了,而且A无法破坏BC的合作(前面说过,A只要有一丁点不随机,就会被BC利用,导致败率大于$1/2$)。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2017-10-31 21:05:59 | 显示全部楼层
前面的讨论都是基于【任何$2$人都没有互相串通】的前提下进行的。

如果把这个假设去掉,结果会怎样呢?

具体地说,是任何$2$个人都可以串通,且串通的规律无法被第$3$人识破(这也是一种平等嘛)。

例如,当A会背$e$和$\phi$,B会背$e$和$\pi$,C会背$\phi$和$\pi$,并且这是公共知识的时候,任何$2$个人都可以串通,且串通的规律无法被第$3$人识破。

一种可能的结果是,BC把$\pi$的二进制小数转化成手心手背,两个人就可以把把出相同的手,且A无法预测,结果A的败率被锁死在$1/2$,然后由A来决定剩下的$1/2$败率如何分配给B和C。

但这个结果似乎不稳定。

由于A是知道B和C是拿他不会背的$\pi$来欺负他的,A为了减小自己的败率,很可能会威胁BC的其中一方。

例如,A会对B说:你跟我合作,各自独立地以$2/3$的概率出手心如何?这样就能把C的败率锁死在$4/9$,由C来决定剩下的$5/9$败率如何分配给我们。但不论C如何分配,我们的败率都必定介于$1/9$到$4/9$之间,不可能大于$4/9$。但你要是坚持与C合作,我就会拉你下水,把剩余的$1/2$败率全放你身上,让你死得比$4/9$的败率更惨。

于是B由于受到了A的威胁,很可能就会与A合作,从而获得介于$1/9$到$4/9$之间的败率,而不是$1/2$的败率。

但这个结果似乎仍然不稳定,C可能会把B拉回来说,要是A敢威胁你,让你的败率大于$1/3$,我们就采取固定的策略对付A,让A的败率大于$2/3$,我们的败率之和小于$1/3$,看A还敢不敢拉你下水。如果你还是坚持与A合作,我就把你的败率锁死在$4/9$,让你死得比$1/3$的败率更惨。

于是B由于受到了C的威胁,很可能又跑回去与C合作,从而获得不超过$1/3$的败率,而不是$4/9$的败率。

但这个结果就稳定了吗?A还有没有别的招呢?

有什么串通策略即使公开叫板,第$3$个人也无可奈何呢?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2017-12-7 20:04:52 | 显示全部楼层
本帖最后由 .·.·. 于 2017-12-7 20:06 编辑
KeyTo9_Fans 发表于 2017-10-31 21:05
前面的讨论都是基于【任何$2$人都没有互相串通】的前提下进行的。

如果把这个假设去掉,结果会怎样呢?
...


这个假设有问题……问题在于A无法保证自己同时做到威慑跟行为不可预测

当A表示自己准备把$\frac1 2$的失败率分配给B而非C的时候……A只能出手心……于是B表示,只要A敢这么说,B一定会出手心,从而C也会出手心……感觉问题复杂度直接x2……我们需要关心的是A的威慑是否是真的……

BTW,改头像的时候报cannot write to the data/tmp folder是什么情况……

点评

头像问题已经解决,可以修改了。修改完如果没有显示新头像,请清除一下浏览器缓存后重新访问  发表于 2017-12-7 20:28
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2019-4-24 13:49:14 | 显示全部楼层
$12$楼问道:有什么串通策略即使公开叫板,第$3$个人也无可奈何呢?

最近似乎又想到了一个策略:签协议。

例如:$B$和$C$签订以下协议:

=====
第$1$条、盯紧$A$:时刻关注$A$出手的熵,如果出手的熵小于$1$比特/次,则根据$A$所丢失的熵,把$A$的败率整成大于$1/2$,否则遵守第$2$条。

第$2$条、自律:保证自己出手的熵为$1$比特/次。

第$3$条、毁约惩罚:如果发现对方不遵守第$2$条,则执行毁约预案:回归纳什均衡策略。
=====

这协议非常牛B,以至于$B$和$C$当着$A$的面,把协议内容给$A$看,然后双方签约,最后遵照执行,$A$也拿$B$和$C$没有办法。

协议生效后,$3$人的策略最终将趋于满熵出手,也就是完全随机。

结果$A$的败率为$1/4$,$B$和$C$的败率为$3/8$。

而且这一策略将变得非常稳定,$A$无可奈何只能坚持满熵出手,$B$和$C$害怕毁约惩罚,也不敢不坚持满熵出手。

(要注意,毁约惩罚的纳什均衡结果是,$A$的败率为$0$,$B$和$C$的败率为$1/2$,$B$和$C$任何一方都不希望这样的结果。)

#####

那么,问题又来了:

$A$能否拟定一份新的协议,然后诱惑$B$和$C$的其中一方和他签约(比如:保证签约方的败率小于$3/8$),以获得低于$1/4$的败率呢?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
您需要登录后才可以回帖 登录 | 欢迎注册

本版积分规则

小黑屋|手机版|数学研发网 ( 苏ICP备07505100号 )

GMT+8, 2019-9-15 18:04 , Processed in 0.048814 second(s), 15 queries .

Powered by Discuz! X3.4

© 2001-2017 Comsenz Inc.

快速回复 返回顶部 返回列表