3人玩游戏决定谁买单，这个游戏公平吗？

KeyTo9_Fans

问题来自：
https://www.zhihu.com/question/67018671

问题标题：
3人聚餐后，想玩一个游戏来决定谁买单，这个游戏公平吗？

问题描述：
3人先约定好谁当A、谁当B、谁当C，然后同时伸出手，每个人都只有手心朝上或者手背朝上2种选择，然后统计手心朝上的人数：0人或3人则A买单，1人则B买单，2人则C买单。
在任何2人都没有互相串通的前提下，这个游戏公平吗？如果不公平，哪方占优哪方劣势？

P.S.
此问题实为题主原创，只是题主在知乎上提问了之后，又想在数学研发论坛上提问，所以才标记为转载的。

kastin

A买单的概率为 `\frac 28`，B买单的概率为 `\frac 3 8`，C买单的概率为 `\frac 3 8`，所以A比较占优势。

kastin

一般谈论公平与否的时候，我感觉是从大量平均的角度来看待的。也就是说，认为任何可能性都是均等的。当然，最佳策略不一定是随机选择策略。这个可以通过蒙特卡罗模拟，之前有个网站（https://www.sekai.co/trust/）就是通过模拟的方法研究了博弈游戏，叫做信任的进化，结论非常有意思。

wayne

kastin 发表于 2017-10-22 16:14
A买单的概率为 `\frac 28`，B买单的概率为 `\frac 3 8`，C买单的概率为 `\frac 3 8`，所以A比较占优势。

在任何2人都没有互相串通. 毫无信息可以参考。那就按照各自的偏好来了。假设A，B，C三人各自打算出手心向上的概率分别是x,y,z. 则各自买单的概率是x,y,z的函数

$P_A(x,y,z) = (1-x)(1-y)(1-z) +xyz$

$P_B(x,y,z) = (1-y)(1-z)x + (1-x)(1-z)y + (1-x)(1-y)z$

$P_C(x,y,z) = (1-z)xy + (1-y)xz + (1-x)yz$

令 这三个函数 都相等，为$1/3$，发现无解。 所以如果三个人都遵循各自固定的概率 随机 出牌，将不可能公平。

mathe

对于A来说，由于手心手背是对称的，所以在没有和其他人预谋的情况下，手心手背都一样，正常情况他就会以各50%的概率随机出。
在此前提下，变化为
$P_A(y,z) = 1/2(1-y)(1-z) +1/2yz$
$P_B(y,z) = 1/2(1-z) + 1/2(1-y)z$
$P_C(y,z) = 1/2y + 1/2(1-y)z $
于是很有意思，对于B来说，对于C的任何策略，都应该y最大的时候$P_B$最小，于是他会选择y=1,得到$P_B=1/2(1-z)$；同样对于C来说，无论B怎么选择方案，他都是选择z=0时有最小买单概率$P_C=1/2y$,于是在双方互相不信任的前提下，B都选择手心向上(y=1),而C都选择手背向上(z=0),于是他们两败俱伤，各自需要有50%的概率买单而A坐收渔翁之利。
如果在游戏需要重复进行很多次或者B,C相互之间充分信任（但是有无法进行预谋）的情况下，比较明智的B和C要选择一种双方买单概率相同但是让A买单概率最大的情况，也就是B和C都以50%的概率选择手心和手背，那么这时A虽然还是占有优势(只有$1/4$概率需要买单),但是B和C合作以后可以将买单概率从$1/2$降低到$3/8$。

但是聪明的A可能不会满足$1/4$的买单概率，在游戏需要重复很多次时，他为了挑拨B,C的关系，可以连续出手心状态，也就是改变策略为x=1。
而这种改变下A自己的买单概率还是保留为$1/4$,而B惊喜的发现自己买单的概率也降低为$1/4$。
而可怜的C发现自己买单的概率上升为$1/2$后很可能火冒三丈而恢复到只出手背的策略（最主要的是怀疑A,B串通）。
此后只要A调整回随机策略，那么B必然发现自己买单概率急升而恢复到只出手心的策略来对抗。
而出现这种A可以掌控全局的情况的主要原因在于B,C以50%概率选择手心或手背的策略是不稳定的。

而在B,C为了能够获得最大利益，那么只要A不使用均匀概率，那么目标就应该让A最大概率买单，所以这时策略就是A估计出现不均匀策略时，B和C必须一致的对抗A,但是这会导致B,C两者之间费用严重失衡，正常情况很难维护下去。

KeyTo9_Fans

mathe 发表于 2017-10-23 10:39
而可怜的C发现自己买单的概率上升为$1/2$后很可能火冒三丈而恢复到只出手背的策略（最主要的是怀疑A,B串通）。

C应该不会这样做。C应该会发现是A在捣鬼，应该会变成只出手心去报复A，而不是只出手背去报复B。

然后A发现自己买单的概率上升为$1/2$，比$1/4$糟糕多了，于是恢复到随机策略。

然后C也恢复到随机策略，继续跟B合作。

zeroieme

为什么充分聪明的B和C不直接拒绝“游戏”呢

gxqcn

夜深人静了，一家背街的小餐馆，还有一间包厢的灯光透射出打在巷子里，
店小二打着哈欠，不止一次的进来问还要点什么，
桌上一片狼藉，餐盘交错，只剩杯酒未饮，
里面三人摆摆手，示意不需要，别打扰。

他们的目光不在酒桌上，却聚精会神地在做一件事：
同时伸出手来，掌心或向上或向下，收回再伸出，周而复始，
似乎在艰难地决定着什么：谁来喝这杯酒？或是谁去做先锋打头阵？

店小二把情况说与了老板。
等等，打什么头阵？该不会是坏淫吧？
作为朝阳区的群众，这点觉悟咱还是有的：报警吧。。。

喂，110吗？有三个人吃了一小时，手心手背了仨小时还没完，
不知想搞什么事情，期间还不时有人嚷着另外俩人有串通。。。

liangbch

楼上很会讲故事，很有文采。

wayne

KeyTo9_Fans 发表于 2017-10-26 21:35
C应该不会这样做。C应该会发现是A在搞鬼，应该会变成只出手心去报复A，而不是只出手背去报复B。

然 ...

然后某人根据大家都趋于均匀随机性的规律，平地起波澜，然后又被对方识破固定的模式，大家又开始角逐。