n只鸭子出现在圆心角为θ>π的扇形的概率

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原始题目为“4只鸭子出现在同一个半圆内的概率是多少”，本来已经是很古老的题目了，最近在网上又小火了一把。

论坛之前有过相关讨论，分别是：

https://bbs.emath.ac.cn/thread-16891-1-1.html

https://bbs.emath.ac.cn/thread-5241-1-1.html

很明显，这道题有两个推广方向：

1、“$n$只鸭子出现在同一个$d$维超半球内的概率是多少？”，这个据说已经有答案了，也不是我感兴趣的；

2、“$n$只鸭子出现在同一个圆心角为$\theta$的扇形的概率是多少？”，当$\theta \leq \pi$时，答案还算比较简单，是$n\left(\frac{\theta}{2\pi}\right)^{n-1}$。

比较困难的是$\theta > \pi$的分析。本帖就考虑这种情形，请大家指点。

mathe

我们可以想象第一只鸭子的位置可以将圆周拆分成长度为$2\pi$的线段，然后后面n-1只鸭子落在这个线段上，将线段由拆分成n个小线段。设长度最大的线段的长度为s,那么我们就可以用角度$\theta=2\pi-s$的扇形覆盖住所有鸭子。
我们折算一下，也就是变成需要计算
      总长度为1的线段，随机分成n份以后，最长一段长度不小于$\frac{2\pi-\theta}{2\pi}$的概率
现在这个问题是一个被大家很好分析过的问题， 根据连接 https://www.zhihu.com/question/50198685
  最长一段长度不小于x的概率为
    \[\sum_{k=1}^{min\{\lfloor\frac nx\rfloor,n\}}C_n^k (-1)^{k-1}(1-kx)^{n-1}\]
特别的当\(x\ge \frac12\)时,结果就变成了我们已经知道的简单形式$ n (1-x)^{n-1}$

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mathe 发表于 2022-10-24 15:18
我们可以想象第一只鸭子的位置可以将圆周拆分成长度为$2\pi$的线段，然后后面n-1只鸭子落在这个线段上，将 ...

牛呀，我刚想到这个映射，mathe一下子就想到了～

yuange1975

https://bbs.emath.ac.cn/thread-18922-1-1.html

抓住问题本质，巧解鸭子概率问题。

这个直接得到答案