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[提问] 已知a=ab+c,b=bc+a,c=ca+b,求a+b+c.

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发表于 2024-9-8 20:31:29 | 显示全部楼层 |阅读模式

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已知a=ab+c,  b=bc+a,  c=ca+b,  a,b,c互不相等,  求a+b+c?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2024-9-9 09:15:57 | 显示全部楼层
  1. Clear["Global`*"];
  2. (*方法1*)
  3. aa=Eliminate[{a==a*b+c,b==b*c+a,c==c*a+b,x==a+b+c},{a,b,c}]
  4. bb=Solve[aa,{x}]
  5. ans=Solve[{a==a*b+c,b==b*c+a,c==c*a+b},{a,b,c}];
  6. Grid[N@ans,Alignment->Left](*列表显示*)
  7. cc=(a+b+c)/.ans//Simplify
复制代码


求解结果
\[x^3-3 x^2=0\]
{{x -> 0}, {x -> 0}, {x -> 3}}
三个根的数值解
\[\begin{array}{lll}
a\to 0. & b\to 0. & c\to 0. \\
a\to 2.53209\, +0. i & b\to 1.3473\, -\text{2.220446049250313$\grave{ }$*${}^{\wedge}$-16} i & c\to -0.879385+0. i \\
a\to 1.3473\, -\text{2.220446049250313$\grave{ }$*${}^{\wedge}$-16} i & b\to -0.879385+\text{6.349998043041623$\grave{ }$*${}^{\wedge}$-16} i & c\to 2.53209\, -\text{2.0951307667609983$\grave{ }$*${}^{\wedge}$-16} i \\
a\to -0.879385+\text{5.551115123125783$\grave{ }$*${}^{\wedge}$-17} i & b\to 2.53209\, -\text{5.794706533424433$\grave{ }$*${}^{\wedge}$-16} i & c\to 1.3473\, -\text{2.685349817827106$\grave{ }$*${}^{\wedge}$-16} i \\
\end{array}\]
求和得到
{0, 3, 3, 3}
最后结果是3
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2024-9-9 09:19:37 | 显示全部楼层
不算特别严格的办法,这类问题,我觉得就是结式
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 楼主| 发表于 2024-9-9 09:59:48 | 显示全部楼层
nyy 发表于 2024-9-9 09:19
不算特别严格的办法,这类问题,我觉得就是结式

已知a=ab+c,  b=bc+a,  c=ca+b,  a,b,c互不相等,  求a+b+c?

a=ab+c,ab=ab^2+bc——(1)

b=bc+a,bc=bc^2+ca——(2)

c=ca+b,ca=ca^2+ab——(3)

由(1),(2),(3): ab^2+bc^2+ca^2=0—(4)

a=ab+c,1=b+c/a——(5)

b=bc+a,1=c+a/b——(6)

c=ca+b,1=a+b/c——(7)

由(5),(6),(7): a+b+c=3-(c/a+a/b+b/c)=3-(ab^2+bc^2+ca^2)/(abc)=3-0=3

点评

瑕疵:abc 均非 0 才可作分母,需要阐明  发表于 2024-9-9 10:40
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发表于 2024-9-9 10:35:54 | 显示全部楼层
\(\because ab=a-c\ne0,\ bc=b-a\ne0,\ ca=c-b\ne0 \implies a\ne0,\ b\ne0,\ c\ne0 \)

\(\therefore \; b=1-\dfrac{c}{a},\qquad c=1-\dfrac{a}{b},\qquad a=1-\dfrac{b}{c}\)

\(\begin{align*}\therefore a+b+c &= \left(1-\frac{b}{c}\right)+\left(1-\frac{c}{a}\right) +\left(1-\frac{a}{b}\right) \\
&= 3-\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{a}{b}\right) \\
&= 3-\frac{(ab)b+(bc)c+(ca)a}{abc} \\
&= 3-\frac{(a-c)b+(b-a)c+(c-b)a}{abc} \\
&= 3\end{align*}\)

点评

你的办法并不笨,只是有点粗暴用力(此“力”,源于第三方的算法)而已。  发表于 2024-9-11 11:37
nyy
你比我聪明,我只喜欢用笨办法  发表于 2024-9-11 10:16
发完后,才发现跟楼上思路一致  发表于 2024-9-9 10:38
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 楼主| 发表于 2024-9-10 09:02:31 | 显示全部楼层
a=1+2cos40°,  b=1+2cos80°,  c=1-2cos20°.

我也不知道这答案是怎么来的,  知乎《已知a=ab+c,b=bc+a,c=ca+b,求a+b+c》

我只想知道: 这4楼的解法有问题吗? 谢谢!
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 楼主| 发表于 2024-9-10 10:44:43 | 显示全部楼层
已知a=ab+c,  b=bc+a,  c=ca+b,  a,b,c互不相等,  求a+b+c?

不妨设a>b>c,  4种可能。

1, a>b>c>0。b=bc+a,b>a,不可以。

2, a>b>0>c。

3, a>0>b>c。b=bc+a,b>a,不可以。

4, 0>a>b>c。b=bc+a,b>a,不可以。

毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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 楼主| 发表于 2024-9-16 09:27:28 | 显示全部楼层
类似的题目(1)。

求 (xyz+1)/(x+1)=(yzw+1)/(y+1)=(zwx+1)/(z+1)=(wxy+1)/(w+1),x+y+z+w=48 的正数解

只2组解。

第1组解。x=y=z=w=12,  (略)

第2组解。\(x=z=12+\sqrt{143},\ \ y=w=12-\sqrt{143}\)

\(1=\frac{x*y*z+1}{x+1}=\frac{y*z*w+1}{y+1}=\frac{z*w*x+1}{z+1}=\frac{w*x*y+1}{w+1}\)

比较分子分母。1=y*z=z*w=w*x=x*y,  =>y=w,x=z。

解方程组:x*y=1,x+y=24, 可得第2组解。

点评

本来就是解方程,何来暴力搜索?!该不是拿已知结果反套的吧,从而避开最具挑战性的部分  发表于 2024-9-23 10:18
暴力搜索。正还没有其它值。  发表于 2024-9-18 09:29
怎么证明?正好是 1,而不会是别的值?  发表于 2024-9-18 07:49
设。  发表于 2024-9-17 12:44
“1=连等式”,从何来?  发表于 2024-9-17 11:05
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 楼主| 发表于 2024-9-16 09:29:44 | 显示全部楼层
类似的题目(2)。

x+y+z=1,x2+y2+z2=1,z2(x-y)+y2(z-x)+x2(y-z)=0。

x+y+y=1,x2+y2+y2=1,y2(x-y)+y2(y-x)+x2(y-y)=0。(1)

x+y+y=1,x2+y2+y2=1,y2(x-y)-y2(x-y)+x2(y-y)=0。(2)

x+y+y=1,x2+y2+y2=1。解得2组基本解:  x = -(1/3), y = 2/3 与 x = 1, y = 0。

(1)。x,y,z 3个相等走不通。只能走2个相等。不妨设y=z。

(2)。y2(x-y)-y2(x-y)+x2(y-y)=0。这是个多余的条件(恒等式),丢了。
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 楼主| 发表于 2024-9-17 04:52:24 | 显示全部楼层
方法整理,  一次到位。

求\(\sqrt{A-Bx}+\sqrt{x-C}\)的最大值。

当\(x=\frac{A+B^2C}{B(B+1)}\)时,\(\sqrt{A-Bx}+\sqrt{x-C}\)的最大值=\(\sqrt{\frac{A-BC}{B/(B+1)}}。\)

譬如:求\(\sqrt{10-2x}+\sqrt{x-1}\)的最大值。

当\(x=\frac{10+2^2*1}{2(2+1)}=\frac{7}{3}\)时,\(\sqrt{10-2x}+\sqrt{x-1}\)的最大值=\(\sqrt{\frac{10-2*1}{2/(2+1)}}=2\sqrt{3}。\)


再简化。

\(\sqrt{A-Bx}+\sqrt{x-C}\) 的最大值 ≡\(\sqrt{D-Bx}+\sqrt{x}\) 的最大值 ≡ \(\sqrt{\frac{D}{B/(B+1)}}\)
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