已知a=ab+c,b=bc+a,c=ca+b,求a+b+c.

王守恩

已知a=ab+c,  b=bc+a,  c=ca+b,  a,b,c互不相等,  求a+b+c？

王守恩

求所有实数 α 满足:  对任意正整数 n,  整数\(\lfloorα\rfloor+\lfloor2α\rfloor+…+\lfloor nα\rfloor\) 均为 n 的倍数。\(\lfloor A\rfloor\) 表示不超过 A 的最大整数。

1, 答案。α={...-8,-6,-4,-2,0,2,4,6,8,...}。

Table[Mod[Sum[2 a k, {k, n}], n], {a, -4, 4}, {n, 1, 9}]

{{0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0}, {0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0}, {0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0}, {0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0}, {0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0}, {0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0}, {0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0}, {0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0}, {0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0}}

Table[Mod[a n (n + 1), n], {a, -4, 4}, {n, 1, 9}]

{{0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0}, {0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0}, {0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0}, {0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0}, {0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0}, {0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0}, {0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0}, {0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0}, {0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0}}

2, 证。记 S(α,n)=\(\lfloorα\rfloor+\lfloor2α\rfloor+…+\lfloor nα\rfloor。\)则

  S(α,1) 肯定是 1 的倍数。S(α,2) 肯定是 2 的倍数。S(α,3) 肯定是 3 的倍数。S(α,4) 肯定是 4 的倍数。...

  S(α,1):没问题。S(α,2):α<1/2 是不行的。S(α,3):α<2/3 是不行的。S(α,4):α<3/4 是不行的。S(α,5):α<4/5 是不行的。...

3, 在第2条的基础上，每个 α+1 等同每个  S(α,n)+n,   原来不行的现在还是不行。

4, 在第2条的基础上，每个 α+2 等同每个  S(α,n)+2n,  原来不行的现在还是不行。

5, 在第2条的基础上，每个 α+3 等同每个  S(α,n)+3n,  原来不行的现在还是不行。

nyy

1. Clear["Global`*"];
   
2. (*方法1*)
   
3. aa=Eliminate[{a==a*b+c,b==b*c+a,c==c*a+b,x==a+b+c},{a,b,c}]
   
4. bb=Solve[aa,{x}]
   
5. ans=Solve[{a==a*b+c,b==b*c+a,c==c*a+b},{a,b,c}];
   
6. Grid[N@ans,Alignment->Left](*列表显示*)
   
7. cc=(a+b+c)/.ans//Simplify
   

复制代码

求解结果
\[x^3-3 x^2=0\]
{{x -> 0}, {x -> 0}, {x -> 3}}
三个根的数值解
\[\begin{array}{lll}
a\to 0. & b\to 0. & c\to 0. \\
a\to 2.53209\, +0. i & b\to 1.3473\, -\text{2.220446049250313$\grave{ }$*${}^{\wedge}$-16} i & c\to -0.879385+0. i \\
a\to 1.3473\, -\text{2.220446049250313$\grave{ }$*${}^{\wedge}$-16} i & b\to -0.879385+\text{6.349998043041623$\grave{ }$*${}^{\wedge}$-16} i & c\to 2.53209\, -\text{2.0951307667609983$\grave{ }$*${}^{\wedge}$-16} i \\
a\to -0.879385+\text{5.551115123125783$\grave{ }$*${}^{\wedge}$-17} i & b\to 2.53209\, -\text{5.794706533424433$\grave{ }$*${}^{\wedge}$-16} i & c\to 1.3473\, -\text{2.685349817827106$\grave{ }$*${}^{\wedge}$-16} i \\
\end{array}\]
求和得到
{0, 3, 3, 3}
最后结果是3

王守恩

题：求 (xyz+1)/(x+1)=(yzw+1)/(y+1)=(zwx+1)/(z+1)=(wxy+1)/(w+1)，x+y+z+w=48 的正数解.

思路：解方程组居然要用到均值定理，感觉有点奇葩. 耐着性子把各方程化为(x，y，z，w∈R+)，

xy^2z+xyz+y=xyzw+yzw+x ，             yz^2w+yzw+z=xyzw+zwx+y，

zw^2x+zwx+w=xyzw+wxy+z，           wx^2y+wxy+x=xyzw+xyz+w，

相加得，xy^2z+ yz^2w+zw^2x+ wx^2y=4xyzw.

因xy^2z+ yz^2w+zw^2x+ wx^2y≥4（xy^2z. yz^2w.zw^2x.wx^2y)^(1/4)=4xyzw，

故，必有xy^2z=yz^2w=zw^2x=wx^2y，或xy=zw，yz=wx，或x=z，y=w.

若z=y，即x=y=z=w，则x=y=z=w=12.

若z≠y，则由(xyz+1)/(x+1)=(yzw+1)/(y+1)，有(x^2y+1)/(x+1)=(xy^2+1)/(y+1)，

或xy=1，且x+y=24.解得x=12±√143，y=12±√143(x≠y).

故满足条件所有解为x=y=z=w=12，或x=z=12+√143，y=w=12-√143，

或x=z=12-√143，y=w=12+√143.

上面的解答是由网友《波斯猫猫》给出且留言:  希望看到不用圴值定理等号成立的条件找到突破口。

nyy

不算特别严格的办法，这类问题，我觉得就是结式

王守恩

nyy 发表于 2024-9-9 09:19
不算特别严格的办法，这类问题，我觉得就是结式

已知a=ab+c,  b=bc+a,  c=ca+b,  a,b,c互不相等,  求a+b+c？

a=ab+c，ab=ab^2+bc——(1)

b=bc+a，bc=bc^2+ca——(2)

c=ca+b，ca=ca^2+ab——(3)

由(1),(2),(3): ab^2+bc^2+ca^2=0—(4)

a=ab+c，1=b+c/a——(5)

b=bc+a，1=c+a/b——(6)

c=ca+b，1=a+b/c——(7)

由(5),(6),(7): a+b+c=3-(c/a+a/b+b/c)=3-(ab^2+bc^2+ca^2)/(abc)=3-0=3

gxqcn

\(\because ab=a-c\ne0,\ bc=b-a\ne0,\ ca=c-b\ne0 \implies a\ne0,\ b\ne0,\ c\ne0 \)

\(\therefore \; b=1-\dfrac{c}{a},\qquad c=1-\dfrac{a}{b},\qquad a=1-\dfrac{b}{c}\)

\(\begin{align*}\therefore a+b+c &= \left(1-\frac{b}{c}\right)+\left(1-\frac{c}{a}\right) +\left(1-\frac{a}{b}\right) \\
&= 3-\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{a}{b}\right) \\
&= 3-\frac{(ab)b+(bc)c+(ca)a}{abc} \\
&= 3-\frac{(a-c)b+(b-a)c+(c-b)a}{abc} \\
&= 3\end{align*}\)

王守恩

a=1+2cos40°,  b=1+2cos80°,  c=1-2cos20°.

我也不知道这答案是怎么来的,  知乎《已知a=ab+c,b=bc+a,c=ca+b,求a+b+c》

我只想知道: 这4楼的解法有问题吗？ 谢谢！

王守恩

已知a=ab+c,  b=bc+a,  c=ca+b,  a,b,c互不相等,  求a+b+c？

不妨设a>b>c,  4种可能。

1, a>b>c>0。b=bc+a,b>a,不可以。

2, a>b>0>c。

3, a>0>b>c。b=bc+a,b>a,不可以。

4, 0>a>b>c。b=bc+a,b>a,不可以。

王守恩

类似的题目(1)。

求 (xyz+1)/(x+1)=(yzw+1)/(y+1)=(zwx+1)/(z+1)=(wxy+1)/(w+1)，x+y+z+w=48 的正数解

只2组解。

第1组解。x=y=z=w=12,  (略)

第2组解。\(x=z=12+\sqrt{143},\ \ y=w=12-\sqrt{143}\)

\(1=\frac{x*y*z+1}{x+1}=\frac{y*z*w+1}{y+1}=\frac{z*w*x+1}{z+1}=\frac{w*x*y+1}{w+1}\)

比较分子分母。1=y*z=z*w=w*x=x*y,  =>y=w,x=z。

解方程组:x*y=1,x+y=24, 可得第2组解。

王守恩

类似的题目(2)。

x+y+z=1,x2+y2+z2=1,z2(x-y)+y2(z-x)+x2(y-z)=0。

x+y+y=1,x2+y2+y2=1,y2(x-y)+y2(y-x)+x2(y-y)=0。(1)

x+y+y=1,x2+y2+y2=1,y2(x-y)-y2(x-y)+x2(y-y)=0。(2)

x+y+y=1,x2+y2+y2=1。解得2组基本解:  x = -(1/3), y = 2/3 与 x = 1, y = 0。

(1)。x,y,z 3个相等走不通。只能走2个相等。不妨设y=z。

(2)。y2(x-y)-y2(x-y)+x2(y-y)=0。这是个多余的条件(恒等式)，丢了。

王守恩

方法整理,  一次到位。

求\(\sqrt{A-Bx}+\sqrt{x-C}\)的最大值。

当\(x=\frac{A+B^2C}{B(B+1)}\)时，\(\sqrt{A-Bx}+\sqrt{x-C}\)的最大值=\(\sqrt{\frac{A-BC}{B/(B+1)}}。\)

譬如：求\(\sqrt{10-2x}+\sqrt{x-1}\)的最大值。

当\(x=\frac{10+2^2*1}{2(2+1)}=\frac{7}{3}\)时，\(\sqrt{10-2x}+\sqrt{x-1}\)的最大值=\(\sqrt{\frac{10-2*1}{2/(2+1)}}=2\sqrt{3}。\)


再简化。

\(\sqrt{A-Bx}+\sqrt{x-C}\) 的最大值 ≡\(\sqrt{D-Bx}+\sqrt{x}\) 的最大值 ≡ \(\sqrt{\frac{D}{B/(B+1)}}\)