已知a=ab+c,b=bc+a,c=ca+b,求a+b+c.

王守恩

求所有实数 α 满足:  对任意正整数 n,  整数\(\lfloorα\rfloor+\lfloor2α\rfloor+…+\lfloor nα\rfloor\) 均为 n 的倍数。\(\lfloor A\rfloor\) 表示不超过 A 的最大整数。

1, 答案。α={...-8,-6,-4,-2,0,2,4,6,8,...}。

Table[Mod[Sum[2 a k, {k, n}], n], {a, -4, 4}, {n, 1, 9}]

{{0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0}, {0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0}, {0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0}, {0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0}, {0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0}, {0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0}, {0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0}, {0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0}, {0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0}}

Table[Mod[a n (n + 1), n], {a, -4, 4}, {n, 1, 9}]

{{0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0}, {0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0}, {0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0}, {0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0}, {0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0}, {0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0}, {0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0}, {0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0}, {0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0}}

2, 证。记 S(α,n)=\(\lfloorα\rfloor+\lfloor2α\rfloor+…+\lfloor nα\rfloor。\)则

  S(α,1) 肯定是 1 的倍数。S(α,2) 肯定是 2 的倍数。S(α,3) 肯定是 3 的倍数。S(α,4) 肯定是 4 的倍数。...

  S(α,1):没问题。S(α,2):α<1/2 是不行的。S(α,3):α<2/3 是不行的。S(α,4):α<3/4 是不行的。S(α,5):α<4/5 是不行的。...

3, 在第2条的基础上，每个 α+1 等同每个  S(α,n)+n,   原来不行的现在还是不行。

4, 在第2条的基础上，每个 α+2 等同每个  S(α,n)+2n,  原来不行的现在还是不行。

5, 在第2条的基础上，每个 α+3 等同每个  S(α,n)+3n,  原来不行的现在还是不行。

王守恩

题：求 (xyz+1)/(x+1)=(yzw+1)/(y+1)=(zwx+1)/(z+1)=(wxy+1)/(w+1)，x+y+z+w=48 的正数解.

思路：解方程组居然要用到均值定理，感觉有点奇葩. 耐着性子把各方程化为(x，y，z，w∈R+)，

xy^2z+xyz+y=xyzw+yzw+x ，             yz^2w+yzw+z=xyzw+zwx+y，

zw^2x+zwx+w=xyzw+wxy+z，           wx^2y+wxy+x=xyzw+xyz+w，

相加得，xy^2z+ yz^2w+zw^2x+ wx^2y=4xyzw.

因xy^2z+ yz^2w+zw^2x+ wx^2y≥4（xy^2z. yz^2w.zw^2x.wx^2y)^(1/4)=4xyzw，

故，必有xy^2z=yz^2w=zw^2x=wx^2y，或xy=zw，yz=wx，或x=z，y=w.

若z=y，即x=y=z=w，则x=y=z=w=12.

若z≠y，则由(xyz+1)/(x+1)=(yzw+1)/(y+1)，有(x^2y+1)/(x+1)=(xy^2+1)/(y+1)，

或xy=1，且x+y=24.解得x=12±√143，y=12±√143(x≠y).

故满足条件所有解为x=y=z=w=12，或x=z=12+√143，y=w=12-√143，

或x=z=12-√143，y=w=12+√143.

上面的解答是由网友《波斯猫猫》给出且留言:  希望看到不用圴值定理等号成立的条件找到突破口。

Jack315

由 \(a=ab+c\) 得 \(c=a-ab...(1)\) 。
将 (1) 式代入 \(b=bc+a\) 得 \(a=-\frac{b}{b^2-b-1}...(2)\)
将 (1)、(2) 式代入 \(c=ca+b\) 得 \(-(\frac{b}{b^2-b-1})^2(b^3-3b^2+3)=0\)
若 \(b=0\)，则由 (1)、(2) 式得 \(a=c=0\) 与题意不符。
所以 \(b\) 为一元三次方程 \(x^3-3x^2+3=0\) 的根。
由于 \(a,b,c\) 三个变量的对偶性 / 对称性可知一元三次方程 \(x^3-3x^2+3=0\) 的三个根即为  \(a,b,c\)  的解。
由韦达定理得 \(a+b+c=-\frac{(-3)}{1}=3\)

由韦达定理得到的另外两个结论：
\(ab+bc+ca=\frac{0}{1}=0\)
\(abc=-\frac{3}{1}=-3\)

作变换 \(y=x+1\)，一元三次方程化为 \(y^3-3y+1=0\)
这个方程的解参考：
有点难，求解韦神的一元三次方程