均分田地，田埂最短问题

mathe

上面的分析仅仅对于边界是矩形的情况适用。而对于边界是圆的情况，连接到边界的分割线不一定会同圆周垂直。
我们不妨设这个圆是单位圆，分割线圆内端点坐标为$(x_0,y_0)$,另外一个点是动点$(cos(u),sin(u))$
而分割线弧度为$2\theta$,对应半径为$R$,于是记
$L=sqrt((x_0-cos(u))^2+(y_0-sin(u))^2)$
$2Rsin(\theta)=L$
弧线长度为$2R\theta=L\theta/{sin(\theta)}$
最后简化得出极值情况的要求是:
$(sin(2\theta)-\theta cos(2\theta)-\theta)/(\theta sin(2\theta)+cos(2\theta)-1)=cos(u)y_0-sin(u)x_0$

mathe

59#中得出的结论还是非常复杂，从中很难看出很直接的几何性质。不过如果我们考虑到在弧AP,BP,CP上各任意取一点A',B',C'来代替A,B,C,那么我们同样还可以得出类似的3条约束方程。
现在我们考虑将A',B',C'三个点同时趋向P,那么显然在这种情况下，$\theta_{a'},\theta_{b'},\theta_{c'}$都将趋向0，而${2\theta_{a'}}/{L_{a'}}$等分别趋向各自圆弧的曲率（或者说半径的倒数）。而向量$({x_p-x_{a'}}/{L_{a'}},{y_p-y_{a'}}/{L_{a'}})$趋向圆弧在P点的单位切向量。
于是极限情况的行为中，后面两个约束条件转化为三条圆弧在P点的单位切向量之和为0，也就是两两夹角相等。而第一个约束条件转化为三条圆弧的有向曲率之和为0（这个条件我们还一直没有发现）。特别的如果其中一条是直线段，那么另外两个圆弧必须半径相等但是方向相反。
由此我们可以知道我在36#中提供的方案还不行，因为不满足这个内部点相连接的三条圆弧有向曲率之和为0的条件

mathe

上面的分析仅仅对于边界是矩形的情况适用。而对于边界是圆的情况，连接到边界的分割线不一定会同圆周垂直。
我们不妨设这个圆是单位圆，分割线圆内端点坐标为$(x_0,y_0)$,另外一个点是动点$(cos(u),sin(u))$
而分割 ...
mathe 发表于 2010-11-23 17:31

60#的面积弄错了，修改了一下，假设$r_0,theta_0$是$(x_0,y_0)$的半径和角度，那么，最后公式应该是
${sin(2theta)-theta cos(2theta)-theta}/{theta\sin(2theta)+cos(2theta)-1}={r_0cos(u-theta_0)-1}/{r_0*sin(u-theta_0)}$
上面的公式左边同样手工可以简化，然后变成
$tan(theta)={r_0sin(u-theta_0)}/{1-r_0cos(u-theta_0)}$
这个的确是垂直圆的边界的条件

mathe

如果对一个正五角星五等分，最短的方案是怎样的？
先前总结的规律还适用否？

我怎么感觉将五个内顶点均与中心连结，把五角星五等分已“足够短”了，
但它破坏了太多的“规矩”！不知该怎么解释。
gxqcn 发表于 2010-11-24 10:04

这个构造最佳划分方案有些困难，但是要构造一个比上面方法好的不难。
实际上对于任意4条以上分界线共点的都可以通过类似方法来处理。
对于4条以上分界线共点的，其中必然有两条分界线夹角不超过90度（所以小于120度）。
于是，我们可以在这两条夹角内部添加一个点，以及分别通向这两条分界线另外端点和公共端点的三条圆弧，使得它们两两夹角为120度，并且曲率之和为0，来替换原先两条分界线并且要保持重新分界的面积相等。如果我们只查看这两条分解线公共的区域以及它们两边的区域共三个区域，我们可以知道这时还是相当于是三条分界线共点的问题，而我们构造出来的是这个问题的最优解；而原先给出的是这个点正好移动到边界上一个点的情况（非最优情况），自然改变以后的方案比原先的方案更加好

mathe

在59#中利用计算机(maxima)辅助得到了公式：
${({f'(\theta_a)}/{L_ag'(\theta_a)}+{f'(\theta_b)}/{L_bg'(\theta_b)}+{f'(\theta_c)}/{L_cg'(\theta_c)}=0),({\delH}/{\delx_p}=sum ({x_p-x_a}/{L_a}(f(\theta_a)-{2g(\theta_a)f'(\theta_a)}/{g'(\theta_a)})+4{y_a-y_p}/{L_a}{f'(\theta_a)}/{g'(\theta_a)})=0),({\delH}/{\dely_p}=sum ({y_p-y_b}/{L_a}(f(\theta_a)-{2g(\theta_a)f'(\theta_a)}/{g'(\theta_a)})-4{x_a-x_p}/{L_a}{f'(\theta_a)}/{g'(\theta_a)})=0):}$
没想到手工化简了一下，发现${f'(x)}/{g'(x)}={sin(x)}/4$(看来maxima实在弱了一些)
于是$f(x)-{2g(x)f'(x)}/{g'(x)}={sin(2x)}/{2sin(x)}$
公式可以简化为:
${({sin(\theta_a)}/{L_a}+{sin(\theta_b)}/{L_b}+{sin(\theta_c)}/{L_c}=0),({\delH}/{\delx_p}=sum ({x_p-x_a}/{L_a}cos(\theta_a)-{y_p-y_a}/{L_a}sin(\theta_a))=0),({\delH}/{\dely_p}=sum ({y_p-y_a}/{L_a}cos(\theta_a)+{x_p-x_a}/{L_a}sin(\theta_a))=0):}$
现在几何意义也很明显，其中第一个条件就是三条圆弧的曲率之和为0.
而后面两条约束条件就是将单位化的向量$PA,PB,PC$各自旋转角度$\theta_a,\theta_b,\theta_c$得到的三个向量(正好是三个切线向量)之和为0向量。

mathe

设三角形，a>=b>=c,边a和边b的夹角为C，
那么如果分界线为直线，那么最短距离=$sqrt(a*b*(1-cos(C)))$
如果是68楼所说的圆弧，那么长度=$sqrt(a*b*sin(C)*C/2)$
比较它们的大小就可以了。
056254628 发表于 2010-11-26 17:22

这个不等式简单，就是要求证明
$1-cos(C)>sin(C)C/2$
或者
${1-cos(C)}/{sin(C)}=tan(C/2)>C/2$

mathe

三等分就复杂了，有两种不同的情况，比如一条边特别长时，应该是两端圆弧来划分。
但是更多情况，应该是中间一个点向三条边引圆弧（或线段），比如正三角形。

mathe

其实我们如果考虑三条田梗交点附近很小范围将其放大，每条分界线可以近似看成直线，如同我们感觉地球是平的一样。于是显然必须两两夹角120度，不然最小角为顶角取等腰三角形然后取其费马点即可反证

mathe

同样如果一条田梗通到边界，如果不垂直边界，必然一侧小于90度。同样小范围内都近似看成直线，我们可以在小范围内用垂直边界并且保持两边面积大小的小圆弧替换，容易证明长度变短。

mathe

我们缺失的是边界上不光滑点处的分析，小范围内可以看成两射线构成一个角。显然如果这个角小于平角，根据上一楼的分析，田梗如果到达此点，必然和边界一侧夹角小于直角，矛盾，所以这种不光滑点不能有田梗到达。而对于张角大于平角的不光滑点，同样，如果有一条田梗发出，必然同两测夹角都不小于直角。而如果发出两条田梗，那么除了各自同边界夹角不小于直角外，两者夹角也不小于120度。所以只有在不光滑边界点对内张角不小于300度时，才可能发出两条田梗。