均分田地，田埂最短问题

mathe · 发表于 2019-3-29 15:15:25

非常有意思，试着将本题中数据用google搜索，
结果对于3个区域，搜索到法国人的讨论：
https://translate.google.com/tra ... tml&prev=search
作者： Imod »2012年1月13日，20：26
大致的答案是：1,623278144 ......
但我们可以毫无问题地给出确切的价值。

对于4个区域的结果，可以搜索到意大利人的结果
https://translate.google.com/tra ... htm&prev=search
来自：“El Filibustero”<spalland@comune.re.it>
日期：2000年7月8日星期六11.24
>结合前面消息中的所有考虑因素，我发现了这个推理的1.975593（错误除外）：
> ...
>然后，给定x从中间距离（距离PH = 1/2-x）>被认为是x的任意值，我构造三角形PHU，其中> U的角度为15度
OK！假设弧的角度宽度为15度，则无需经过反复试验。该地区的条件
（x和r参考我的帖子）
r ^ 2 arcsin（x / r） - x * sqrt（r ^ 2-x ^ 2）+ x ^ 2 = 1/4
给出非近似结果：
r = sqrt（3 /（pi-3sqrt（3）+3））
x = r（sqrt（6）-sqrt（2））/ 4 = sqrt（3 /（pi-3sqrt（3）+3））*（sqrt（6）-sqrt（2））/ 4
在公式中替换的长度给出了确切的值
sqrt（3）/ 3 sqrt（pi-3sqrt（3）+3）+ sqrt（2）= ~1.975592884
表达x和r作为alpha（弧的宽度）的函数而不是反之亦然（正如我所做的那样）是一个很好的想法，可以导致正式演示，而不经过反复试验。
实际上，通过对区域的约束，可以表示切割的长度，仅作为alpha的函数：
长度=
SQRT（2）*（（*阿尔法SQRT（2）-sin（阿尔法））/ SQRT（α-SIN（2alpha）/ 2 + SIN（阿尔法）^ 2）+1）
关于α的导数等于0给出了超越方程，但是至少可以通过α= pi / 12来验证。这正式表明了这一点
sqrt（3）/ 3 sqrt（pi-3sqrt（3）+3）+ sqrt（2）= ~ 1.975592884
是我之前提到的削减类别中的最小削减

如果搜索5个区域的结果，给出了一堆不错的结果，其中H14中第二问就是这个问题:
http://plouffe.fr/simon/Phys%20e ... 0Math%20Puzzles.pdf
H14. Minimum Cutting Length.What is the minimum cut-length needed
to divide
(a) a unit-sided equilateral triangle into four parts of equal area?
(b) a unit square, into five parts of equal area?
(c) an equilateral triangle into five parts of equal area?
H14. (a) Length = 1:342181807 as shown.
(b) Length = 2:50211293 as shown.
(c) Unknown
H14. From Robert T. Wainwright (private communication)

mathe · 发表于 2019-3-29 16:26:31

gxqcn 发表于 2010-11-19 16:20
$n=4$ 时，试图按我们先前总结的规律依葫芦画瓢：
中间三段圆弧（弧度为60°，半径为=$sqrt(pi/( ...

中间三段圆弧的相交点构成一个正三角形，边长r即这三段圆弧半径。根据中间这块面积为$pi/4$可以得出三个扇形面积减去两个三角形面积为$pi/4$,即$3*1/2 *{\pi}/3*r^2-2*1/2*\sin({\pi}/3)*r^2={\pi}/4$
可以得出$r=\sqrt(\frac{\pi}{2(\pi-\sqrt(3))})=1.0556524299493429538809290102236743268$
于是分界线总长为4.4879862748672625217959449509555691231
竟然还大于四个半径等分的情况？？

mathe · 发表于 2019-3-29 17:00:40

上面方案结果不好，但是我们可以选择另外一个方案，也就是在圆心附近找到对称两点（距离圆心距离为a),各自向圆周做一段垂直的圆弧，要求这个圆弧垂直圆周，而且和两点连线夹角为60度，同样还要作出对称圆弧，它们和两点连线一起将圆分成面积相同四份。
计算得到这段圆弧弧度是$\theta=0.19852240346429489833853950252807820517$时面积等分。对应a=0.12201015667671759164398812269422407046
最后得出边界长度为3.9457029672671857138428995521117991889
circle 4 parts.png

更多圆形结果在176#,高精度数值结果在186#
正方形结果在177#

mathe · 发表于 2019-3-30 14:19:51

将圆划分成5份等面积的图，53#hujunhua给出了全对称情况的构图，取得不错的结果，
但是我们应该还需要比较类似下图的构图，这个图需要上面对称，然后出了线段CB以外其它都可以是圆弧。
只是这种情况的计算量很大

mathe · 发表于 2019-3-30 15:26:04

59#的公式定义了$f(x)=x/{sin(x)},g(x)={2x-sin(2x)}/{sin^2(x)}$
而后面得出的约束条件内部都使用了表达式${f'(x)}/{g'(x)}$和$f(x)-{2g(x)f'(x)}/{g'(x)}$
大家显然都被这两个复杂的表达式吓坏了，完全没有想到去简化它们，今天试着用在线mathematica计算了一下，结果大跌眼镜，这表达式也实在太简单了
计算结果表示${f'(x)}/{g'(x)}={sin(x)}/4，f(x)-{2g(x)f'(x)}/{g'(x)}=cos(x)$ (https://www.wolframalpha.com/inp ... x))%2Fsin(x)%5E2,x))和(https://www.wolframalpha.com/inp ... (2x))%2Fsin(x)%5E2))

于是59#最后得出的约束条件可以简化为
$\sum_a{\sin(\theta_a)}/{L_a}=0$
$\sum _a{(x_p-x_a)\cos(\theta_a)+(y_p-y_a)\sin(\theta_a)}/{L_a}=0$
$\sum _a{(y_p-y_a)\cos(\theta_a)-(x_p-x_a)\sin(\theta_a)}/{L_a}=0$
其中$L_a=\sqrt((x_p-x_a)^2+(y_p-y_a)^2)$
其中第一个表达式表示三曲率之和为0，第二第三表达式表示三条单位切线两两夹角为120°。
于是在一般情况，对于给定$(x_a,y_a),(x_b,y_b),(x_c,y_c)$,我们根据上面3条约束方程，加上两条要求三部分面积分布的约束方程，就可以求解出$x_p,y_p,\theta_a,\theta_b,\theta_c$