均分田地，田埂最短问题

mathe

7个区域很有可能会发生质变，内部6点边界6点

mathe

6个区域改为对称的圆弧五边形居中占面积pi/6,好像可以改进到5.40679693,其中此"五边形"顶点到中心距离为0.45779,五条曲边长度都是0.53915,它们是半径为2.57425,圆心角为12°的圆弧

mathe

正方形5份还得考虑下图模式，而这个版本的直线段近似版本(三条垂直线段和四条倾向角正负30°的线段)好像结果就只有2.41，优于前面Fans的中心对称版本，所以这个结果应该更优

mathe

看来这种考古级别的题目实在是历史太久远了，导致中枪的人都忘了为何中枪。早在11#fans就给出了五等分正方形一种端庄美丽的解法了，但是看来美丽的不一定是最优秀的

mathe

现在可以找到我这种模型的结果(正方形等分五份的最短分界线长度和)大概是2.52，比Fans的对称完美方案(2.50)要略差一筹。
其中右上一个三条边界交会点坐标(0.690079,0.449663),右上侧三段圆弧的圆心分别为（-0.151079,1.443679），（3.736946，1），（1，1.312325）（面积误差不超过0.0001)

继续通过二分法可以得出更加精确一些的结果 (0.69003974714468,0.44945773152205),
(-0.15101284289143,1.44339014661263), (3.73838723401532,1), (1,1.31217511522699)
这时面积误差不超过$10^-7$,而计算的分界线长度和为2.52043862096832

mathe

随着区域数目变大，中间点的数目比例要逐步变大才行。

mathe

gxqcn 发表于 2010-11-24 10:04
如果对一个正五角星五等分，最短的方案是怎样的？
先前总结的规律还适用否？

gxqcn在63#提出对正五角星进行五等分问题
这里可以给个图

其中五角星5个拐弯点到中心（黑点）的距离为1，也就是原始划分田埂总长为5。其中右侧的拐弯点在(1,0)。
选择的A点坐标为$(0.06275694378533,0)$, A和(1,0)连线为直线段。
A旁边两个选择的内部点坐标分别为$(-0.01658172390018,+-0.14998435971403)$
最短两条短圆弧为2*2.1220726190768°，圆心在远离五角星中心方向
另外两种圆弧分别为2*12.124681244049°和2*24.675419681906°。
其中所有分界线总长为4.886945047876。
各种弧线长度分别为:0.169714761189, 0.9339340603,0.8712021743

mathe

正方形方案46#或36#模式打败47#模式

其中左图(46#)总长2.93994625160691，右图(47#)总长2.95599055531302
左图坐标:
        G(0.41416332015583,0.77339985066382)
        H(0.61979599979948,0.65851304019061)
        J(0.41416332015588,0.22660014933615)
        K(0.61979599979951,0.34148695980942)
        N(0.16634685271279,0.49999999999997)
        E(0.40304087778984,1.00000000000000)
        F(0.00000000000000,0.49999999999996)
        I(1.00000000000000,0.74627531842534)
        L(1.00000000000000,0.25372468157474)
        M(0.40304087778992,0.00000000000000)
        Theta(G=>H)=-0.08398801242370
        Theta(N=>G)=-0.21275474647953
        Theta(J=>N)=-0.21275474647960
        Theta(K=>J)=-0.08398801242368
        Theta(H=>K)=0.06988674220821
        Theta(K=>L)=0.22685601669499
        Theta(M=>J)=-0.04904464131952
        Theta(F=>N)=0.00000000000002
        Theta(E=>G)=0.04904464131964
        Theta(I=>H)=0.22685601669510
右图坐标
        G(0.52243964608848,0.70705864450124)
        H(0.47756035391152,0.29294135549876)
        J(0.45507281580503,0.63411451662830)
        K(0.54492718419496,0.36588548337170)
        E(0.48118555746766,1.00000000000000)
        F(0.00000000000000,0.67985611939168)
        I(1.00000000000000,0.64855768966193)
        L(1.00000000000000,0.32014388060832)
        M(0.00000000000000,0.35144231033807)
        N(0.51881444253235,0.00000000000000)
        Theta(J=>G)=-0.02171387696832
        Theta(K=>J)=-0.00000000000001
        Theta(H=>K)=0.02171387696832
        Theta(G=>I)=0.12189231452232
        Theta(N=>H)=0.13990707327684
        Theta(M=>H)=-0.12189231452231
        Theta(F=>J)=-0.10017843755400
        Theta(E=>G)=0.13990707327683
        Theta(L=>K)=-0.10017843755399

mathe

112#结果为 7.14747448265212, 所以远远不如104#的解
各坐标值为: (-0.28014501064343,0.23980771562651),(-0.14036749198807,0.00334374348045),(-0.29124585915831,-0.22619641240636)
(-0.16016077751332,0.98709094076804),(-0.94018148259430,0.34067400808806)
各圆弧弧度的一半为0.03407923799949，0.19598766199318，0.32005533926486

mathe

正方形分成7个区域先猜测一个对称的图

总长度3.28072646427294
各点坐标有: (0.50000000000000,0.77256804096864) (0.66644546360513,0.66400317016946) (1.00000000000000,0.73420538399341)
各条圆弧的圆周角弧度分别有0.05435998567898，0.10871997135796，0.20743940212017

正方形分成8个区域猜想如下左右对称的图:

总长度3.64544405543832
各点坐标有G(0.50000000000005,0.78650448163742)  H(0.65181072849233,0.69521642810606) K(0.69020529431282,0.40632922424041) J(0.63730164122633,0.34725087921656)
I(1.00000000000000,0.78190277811128)  L(1.00000000000000,0.37152655751760)  M(0.69582210643012,0.00000000000000)
各条圆弧的圆周角弧度分别有(G=>H)=-0.01779668021960  (H=>K)=0.16772405840176 (K=>J)=0.01702889085755 (M=>J)=0.16695626903967
(K=>L)=0.11187200961702 (I=>H)=0.24400270757952  (J=>V)=0.18968623751879 (V和J左右对称）