均分田地，田埂最短问题

mathe

另外大家觉得单位圆和单位正方形均分为n份，分界线总长度最短，那么这两个这短长度在n趋向无穷时比例会是多少？

mathe

N=8还存在另外一种可能的构图

相当于选择N=7的最优构图，将6条散射线中一条的尾端产生两个分叉，就可以多处一个区域。然后调整各点的位置和分界线的弧度来达到平衡。甚至我们还可以试验N=7也有类似的方案。而N=8也可以试验从N=6最优图的五条散射线中两条的尾端各自产生分叉，多出两个区域。
我觉得这种方案比中间两个区域挤在一起应该靠谱些

mathe

划分成8个区域的近似逼近解，中心“七边形”的方案还是有差距的。
6.92792495028745：

7.07740541540335：

6.91427988771841：

mathe

前面代码显然计算精度不够，得到的结果不好，
现在修订了代码，结果要好很多:
6.82326123654612

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（具体数据）
7.04017022768063（计算这个图程序停不下来，应该是结果无法收敛，中间部分应该需要改成七边形，转为了星空的最优解）

6.76815953042611

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（具体数据）

mathe

终于在n=9时找到了超越星空104#的解的方案
7.31494334143164：

        A(0.60709203264349,-0.04753106466644)
                A=>J(-0.00000000000004)
                A=>B(0.08407578100477)
                A=>I(-0.08407578100476)
        B(0.35660871384379,0.38042570964165)
                B=>K(-0.10911694634698)
                B=>A(-0.08407578100477)
                B=>C(0.12260582929224)
        C(0.05342515808133,0.31497233714764)
                C=>B(-0.12260582929224)
                C=>H(0.11023555500428)
                C=>D(0.04488378327095)
        D(-0.10577420000672,0.44034487322536)
                D=>L(0.10370943688338)
                D=>C(-0.04488378327095)
                D=>E(0.01365160332953)
        E(-0.46430508783646,0.27214696940693)
                E=>M(0.02264572630075)
                E=>D(-0.01365160332953)
                E=>F(-0.00683521819668)
        F(-0.50100236279553,-0.19657014020826)
                F=>G(0.01365160332953)
                F=>N(-0.02264572630075)
                F=>E(0.00683521819668)
        G(-0.17301712024887,-0.41851746064377)
                G=>O(-0.10370943688338)
                G=>F(-0.01365160332953)
                G=>H(0.04488378327095)
        H(0.00375439225886,-0.31944909645048)
                H=>C(-0.11023555500428)
                H=>I(0.12260582929225)
                H=>G(-0.04488378327095)
        I(0.29305704491544,-0.43128999961873)
                I=>H(-0.12260582929225)
                I=>A(0.08407578100476)
                I=>P(0.10911694634698)
        J(0.99694912083112,-0.07805415090862)
                J=>A(0.00000000000004)
        K(0.60663008726281,0.79498423709374)
                K=>B(0.10911694634698)
        L(-0.10860263216838,0.99408524196172)
                L=>D(-0.10370943688338)
        M(-0.85273053535571,0.52235106400961)
                M=>E(-0.02264572630075)
        N(-0.92363465693199,-0.38327408014909)
                N=>F(0.02264572630075)
        O(-0.26199082827818,-0.96507036318505)
                O=>G(0.10370943688338)
        P(0.47551334572094,-0.87970850742805)
                P=>I(-0.10911694634698)

mathe

另外圆形情况在n充分大时，所有区域都近似边长为a的六边形，可以得出田埂总长近似$3sqrt{{2pi n}/{3sqrt{3}}}-pi$，这个数值可以用来作为一个参考值。
于是如果一个n个区域的划分方案达到了长度$L_n$,那么我们可以把${3sqrt{{2pi n}/{3sqrt{3}}}-pi}/{L_n}$定义为这种方案的有效率
于是现在已知的最佳有效率为

n	l	ratio	where	who
1	0	-	-	-
2	2	76.2%	-	-
3	3	85.7%	42#	KeyTo9_Fans
4	3.945702967	87.6%	84#	mathe
5	4.833846644	87.6%	87#	mathe
6	5.40679693	91.3%	99#	mathe
7	6	93.1%	95# 具体数据参考 数学星空的104#	zgg__
8	6.647231018	93.1%	104#	数学星空
9	7.314943341	92.3%	129#	mathe
10	7.837055233	93.0%	150#	mathe
11	8.795638460	88.7%	104#	数学星空

同样对于正方形，有效率可以定义为${3sqrt{{2 n}/{3sqrt{3}}}-2}/{L_n}$，得出当前已知最佳有效率为

n	l	ratio	where	who
1	0	-	-	-
2	1	63.2%	-	-
3	1.623278144	75.4%	13#	KeyTo9_Fans
4	1.975592885	87.2%	13#	KeyTo9_Fans
5	2.502112930	86.4%	11#	KeyTo9_Fans
6	2.939946252	87.0%	114#	mathe
7	3.280726464	89.1%	116#	mathe
8	3.597842892	90.7%	116#	mathe

mathe

模仿圆形结果，正方形n=9可以得到类似结果
3.96402976129625， 有效率90.4%,第一个超过90%

        A(0.91187069637516,0.50000000000000)
        B(0.72210436901679,0.72268643503705)
        C(0.55268911505887,0.64573925360558)
        D(0.37858788414340,0.74457369504822)
        E(0.26841856989262,0.66672036190947)
        F(0.26841856989262,0.33327963809053)
        G(0.37858788414340,0.25542630495178)
        H(0.55268911505887,0.35426074639442)
        I(0.72210436901679,0.27731356496295)
        J(1.00000000000000,0.50000000000000)
        K(0.74423827925252,1.00000000000000)
        L(0.37222716160246,1.00000000000000)
        M(0.00000000000000,0.71976551259378)
        N(0.00000000000000,0.28023448740622)
        O(0.37222716160247,0.00000000000000)
        P(0.74423827925252,0.00000000000000)
        Theta(B=>A)=-0.18215276949528
        Theta(B=>C)=0.06202961194765
        Theta(C=>H)=0.03523401271244
        Theta(D=>C)=-0.04251423927608
        Theta(E=>D)=-0.04179512196850
        Theta(F=>E)=0.13338470977671
        Theta(G=>F)=-0.04179512196850
        Theta(H=>G)=-0.04251423927608
        Theta(H=>I)=0.06202961194765
        Theta(I=>A)=0.18215276949528
        Theta(A=>J)=0.00000000000000
        Theta(P=>I)=0.07964661830387
        Theta(O=>G)=-0.02489723291985
        Theta(N=>F)=0.19510703291080
        Theta(M=>E)=-0.19510703291080
        Theta(L=>D)=0.02489723291985
        Theta(K=>B)=-0.07964661830387

另外我们可以注意到除了n=5意外，现在所有其它情况我们找到的最佳结果圆形和方形都使用了相同的“点线结构”

mathe

方形n=9的情况还是中心“八边形”的险胜，再次体现了对称的优势
3.94963096319756

        A(0.67780660170043, 0.63671810616270)=: (a, b)
        B(b, a), C(1-b, a), D(1-a, b), E(1-a, 1-b), F(1-b, 1-a), G(b, 1-a), H(a, 1-b)
        I(1, 0.68315675108767)=: (1, c),
        J(c, 1), K(1-c, 1), L(0, c), M(0, 1-c), N(c, 0), P(1-c,0), Q(1, 1-c)
        角弧AB=CD=EF=GH=-0.02449461204714
        角弧BC=DE=FG=HA=-0.23730477575201
        角弧AI=-BJ=CK=-DL=EM=-FN=GP=-HQ=-0.14314699992314

mathe

n=13对称图还是比较容易构造的
9.97723132549458

        A(0.26412405041761,0.15249209160808)
        B(-0.00000000000002,0.30498418321613)
        C(-0.26412405041763,0.15249209160805)
        D(-0.26412405041761,-0.15249209160808)
        E(0.00000000000002,-0.30498418321613)
        F(0.26412405041763,-0.15249209160805)
        G(0.53929396519804,0.31136151597946)
        H(-0.00000000000003,0.62272303195890)
        I(-0.53929396519807,0.31136151597941)
        J(-0.53929396519806,-0.31136151597947)
        K(0.00000000000003,-0.62272303195887)
        L(0.53929396519810,-0.31136151597943)
        M(0.85065548117751,-0.00000000000000)
        N(0.42532774058869,0.73668925656823)
        O(-0.42532774058877,0.73668925656819)
        P(-0.85065548117751,-0.00000000000006)
        Q(-0.42532774058875,-0.73668925656820)
        R(0.42532774058882,-0.73668925656816)
        S(1.00000000000000,0.00000000000000)
        T(0.49999999999993,0.86602540378448)
        U(-0.50000000000001,0.86602540378443)
        V(-1.00000000000000,-0.00000000000007)
        W(-0.49999999999999,-0.86602540378444)
        X(0.50000000000008,-0.86602540378439)
        Theta(A=>B)=0.00000000000000
        Theta(A=>G)=-0.00000000000000
        Theta(B=>C)=-0.00000000000000
        Theta(C=>D)=0.00000000000000
        Theta(D=>E)=0.00000000000000
        Theta(E=>F)=-0.00000000000000
        Theta(F=>A)=-0.00000000000000
        Theta(G=>N)=0.26179938779917
        Theta(H=>B)=-0.00000000000000
        Theta(H=>O)=0.26179938779914
        Theta(I=>C)=0.00000000000000
        Theta(I=>P)=0.26179938779916
        Theta(J=>D)=0.00000000000000
        Theta(J=>Q)=0.26179938779913
        Theta(K=>E)=-0.00000000000000
        Theta(K=>R)=0.26179938779917
        Theta(L=>F)=0.00000000000000
        Theta(L=>M)=0.26179938779913
        Theta(M=>G)=0.26179938779917
        Theta(N=>H)=0.26179938779913
        Theta(O=>I)=0.26179938779916
        Theta(P=>J)=0.26179938779914
        Theta(Q=>K)=0.26179938779917
        Theta(R=>L)=0.26179938779913
        Theta(M=>S)=-0.00000000000000
        Theta(X=>R)=-0.00000000000000
        Theta(W=>Q)=0.00000000000000
        Theta(V=>P)=-0.00000000000000
        Theta(U=>O)=0.00000000000000
        Theta(T=>N)=-0.00000000000000

mathe

现在二维问题已经解决的相当不错了，但是相应的还有三维问题。比如上海进行垃圾分类，所有垃圾被分为四类。已知现在有一些直径为1米高也为1米的垃圾桶，要求将之用垂直方向的隔板分割为四个体积相同的部分，而且使用的材料最少，那么这个问题等价于本题n=4的问题。考虑到各种垃圾产生量的不同，可以要求四个部分有不同的体积，比如1:2:3:4。
更进一步，我们可以去除隔板为垂直方向的条件，但是要求这四个部分在垃圾桶开口方向(向上)具有相同的开口面积(即使体积不同)，请问该使用什么形状的隔板才使得隔板面积最小