均分田地，田埂最短问题

mathe

总长3.92057823229837
A(0.35569896136317,0.29386488366869)
C(0.62864342054998,0.37135657945002)
G(0.69263914223257,0.30736085776743)
I(0.32143659208730,0.00000000000000)
K(0.65217431764688,0.00000000000000)
                A=>C(-0.01483148068210)
                A=>B(-0.02966296136420)
                A=>I(0.11606821321747)
                K=>G(-0.13089969389957)

mathe

12个区域的一个结果，已经可以看出蜂窝化趋势了

Result:
        A(-0.15729185154765,-0.55055810437779)
                A=>P(-0.11748225497812)
                A=>B(-0.00162828614664)
                A=>F(0.05480041062509)
        B(-0.54503605526997,-0.34876182444602)
                B=>A(0.00162828614664)
                B=>O(0.00138566375857)
                B=>D(-0.00330936029454)
        C(-0.47495891164496,0.13433922379828)
                C=>D(0.02897705588438)
                C=>E(-0.21855283629943)
                C=>G(0.09656571325125)
        D(-0.56181301907799,0.08343702269333)
                D=>V(0.12298004145325)
                D=>C(-0.02897705588438)
                D=>B(0.00330936029454)
        E(-0.37037646858140,0.55982389069326)
                E=>C(0.21855283629943)
                E=>U(-0.00126264438481)
                E=>M(-0.17664687463703)
        F(0.00458463337158,-0.43407085993083)
                F=>A(-0.05480041062509)
                F=>G(0.00785060030059)
                F=>K(0.07699863352223)
        G(-0.05554987547701,-0.06799899053971)
                G=>F(-0.00785060030059)
                G=>C(-0.09656571325125)
                G=>L(0.04795516778196)
        H(0.57241765617468,-0.20008521608281)
                H=>I(0.05355350721972)
                H=>R(-0.06573357290645)
                H=>K(-0.02631989270494)
        I(0.47785417921699,0.01445415974246)
                I=>H(-0.05355350721972)
                I=>J(0.16118646115829)
                I=>L(-0.10106626536433)
        J(0.61017742880337,0.31292287011501)
                J=>S(0.08388794524678)
                J=>I(-0.16118646115829)
                J=>N(0.12719488408066)
        K(0.29523370179664,-0.52132209444828)
                K=>H(0.02631989270494)
                K=>Q(0.07721322967570)
                K=>F(-0.07699863352223)
        L(0.09925421022508,0.07398250353715)
                L=>I(0.10106626536433)
                L=>G(-0.04795516778196)
                L=>M(-0.01612181637137)
        M(-0.01474726219187,0.51960309105863)
                M=>L(0.01612181637137)
                M=>E(0.17664687463703)
                M=>N(-0.11802934862364)
        N(0.16481201524201,0.65326557644273)
                N=>M(0.11802934862364)
                N=>T(-0.09866827159306)
                N=>J(-0.12719488408066)
        O(-0.84272149153288,-0.53834978193420)
                O=>B(-0.00138566375857)
        P(-0.18846643169914,-0.98207963227153)
                P=>A(0.11748225497812)
        Q(0.44698200314889,-0.89454294970169)
                Q=>K(-0.07721322967570)
        R(0.95724761945335,-0.28926976172924)
                R=>H(0.06573357290645)
        S(0.90676083482026,0.42164533489186)
                S=>J(-0.08388794524678)
        T(0.19775029962801,0.98025242616228)
                T=>N(0.09866827159306)
        U(-0.55228386384883,0.83365612438955)
                U=>E(0.00126264438481)
        V(-0.97082470902040,0.23979029245460)
                V=>D(-0.12298004145325)
Total arc len 8.93799761323269

mathe

从结果上看,正方形要远远比圆形复杂。比如四个区域，圆形的只找出两种情况，都已经被论坛中网友找到了，
但是正方形可以找到下面6中不同的情况（只是优秀的很少），比较有意思的是其中排名第二的竟然是不对称的。

而5个区域情况圆形同样只有两种，大家也都找到了，但是正方形的可以找到21种
而圆形的6个区域才找到四种

下面附件是结果数据
eqad.tgz (15.94 KB, 下载次数: 2)

2019-7-17 13:03 上传

点击文件名下载附件

mathe

这几种都是局部最优解，也就是少量移动各点或改变弧线的弯曲度都会导致总长度增加。但是它们的确是同一种拓扑。现在正方形情况比较麻烦的是同一种拓扑可以有多个局部最优解。但是圆形的我还没有发现同一种拓扑对应多个局部最优解的，但是这和圆具有的对称性有关系。

mathe

另外我搜索中直接淘汰了直接连接两个边界点的弧线的情况，因为看上去除了两个区域的情况，没有理由最优解会出现这种情况。如果不淘汰这种边，情况应该会更复杂

mathe

圆形划分成6个区域的局部最优解竟然在前面四个的基础上又找到了一个（虽然结果很差）

mathe

https://badge.dimensions.ai/details/id/pub.1037509165
连接中文章好像就是田埂最短问题，但是我下载不了，有人可以下载过来看看吗？

mathe

mathe

mathe

mathe 发表于 2019-3-29 15:15
非常有意思，试着将本题中数据用google搜索，
结果对于3个区域，搜索到法国人的讨论：
https://translate ...

82#提到an equilateral triangle into five parts of equal area?
如下正三角形外接圆半径为1，这个结果好像不具有任何对称性