R10下的广义斐波那契序列

medie2005

呵呵,x^5-x^4-x^3-x^2-x-1比较难分解.

mathe

原帖由 shshsh_0510 于 2009-1-22 11:09 发表
呵呵，刚想问你怎么不管F2了？
上面的分解是用maple，x^4+3x^3+3x^2+2x+3 应该是不可约的了。
对于x^n+x^n-1+...+1 的分解 在f2上 当n为素数幂-1时，可以分解为分园多项式，然后有个复杂的定理可以运用默比乌斯函数 ...

有限域上分圆多项式也是不可约的了？这个结论我不知道。
如果这样，那么n=6的时候$F_2$对应的就是$F_{2^6}$,周期为$2^6-1=63$,然后同$F_5$的周期取公倍数就可以了，不过挺大的了

mathe

原帖由 medie2005 于 2009-1-22 11:20 发表
呵呵,x^5-x^4-x^3-x^2-x-1比较难分解.

手工分解其实不是很难，就是计算有点复杂

shshsh_0510

原帖由 mathe 于 2009-1-22 11:30 发表

有限域上分圆多项式也是不可约的了？这个结论我不知道。

没说呀，只是说有简便的方法可以在F2上分解分圆多项式

mathe

shshsh的结论不一定对,看文章：
http://web.mit.edu/rsi/www/pdfs/papers/2005/2005-bretth.pdf
For $n>=3$,the $n$th cyclotomic polynomial,$Phi_n(x)$ is reducible modulo all primes if and only if the descriminant of $Phi_n(x)$ is squre in $ZZ$

shshsh_0510

呵呵，和我说的没矛盾呀，而且我说的基本上就是这个了，只不过他说all primes，比我说的多：）

mathe

重新安装了Pari/GP来计算因子分解
n=6时:
$x^6-x^5-x^4-x^3-x^2-x-1-=(x^3+x+1)(x^3+x^2+1)(mod 2)$
$x^6-x^5-x^4-x^3-x^2-x-1-=(x+2)(x+4)(x^4+3x^3+3x^2+2x+3)(mod 5)$

mathe

n=5
$x^5-x^4-x^3-x^2-x-1-=x^5-x^4-x^3-x^2-x-1(mod 5)$
$x^5-x^4-x^3-x^2-x-1-=(x+1)(x^2+x+1)^2(mod 2)$

mathe

n=4,2不可约
n=3模5不可约，模2为$(x+1)^3$

mathe

n=7,模2为$(x+1)^7$,模5为$(x^2+3x+4)(x^5+x^4+2x^3+4x^2+4x+1)$