一道对数题

factor_hg

10^lg(x)+x^lg(x)=20

10的(lg(x)) 次方+ x 的(lg(x))次方=20


需要详细求解过程~~~~

wayne

x=10
太简单了，还是让我这小兵先出场吧

wayne

设lgx=t,则$10^t+10^(t^2)=20$

若t>1,则左边的式子大于20
若t<1,则左边的式子小于20

看来，只有t=1了，于是x=10

factor_hg

这是一道数学计算题，好像考试的时候这样写拿不了分吧！要求详细的求解过程啊，道理是这样的，答案也是这样的，但数学求解过程难啊，难倒了不少数学老师啊

wayne

不好意思啊，我做错了

如果x>1，则可以用我上面的单调性方法来求出一个解

但当x<1时，也有一个解，我再想想

wayne

用单调性来解，不能得分吗

另外，x小于1的这个解是0.07245429224571896

factor_hg

  谢谢    小于1的这个解 能否详细说下呢？

wayne

也是根据单调性原则，必有一解。

只是这个解我是用软件弄出来的，

wayne

x<1时，这个超越方程应该是没有办法手工解的，。。。。

zed

3#的方法很不错的了,怎么会有这样不得分的说法呢?
首先变换成方程$10^t+10^{t^2}=20$是个很不错的变化,
而其中特解t=1是属于比较容易看出来的,这样计算也没有什么不好的.
当然3#中唯一问题是忽略了t<0的情况.
首先,我们容易看出$10^t+10^{t^2}$在$t>=0$时单调增,所以在$t>=0$时方程最多只有一个解.也就是说明了$t>=0$时有唯一解t=1.
而对于$t<0$的部分,由于$10^t<1$,所以我们得到$10^{t^2}>19$,或$t<-sqrt{log_10(19)}<-1$
而计算$10^t+10^{t^2}$关于t的导数为$ln(10)*(10^t+2t*10^{t^2})$,在t<-1时,导数小于$ln(10)*(1/10-20)<0$,也就是在t<-1时函数单调减,所以最多也只有一个解.
但是要具体计算这个t<0情况的解,看来只能近似计算,比如我们可以用牛顿迭代法,也可以根据函数特点,直接取
$t_0=-1$,$t_{k+1}=-sqrt{log_10(20-10^{t_k})}$